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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 11

Diz-se que um operador linear T : V → V é idempotente se T 2 = T (isto é, se T ∘ T v = T v para todo v ∈ V ).

  1. Seja T   idempotente. Ache seus autovalores.
  2. Encontre uma matriz A 2 × 2 ≠ 0 tal que T A : R 2 → R 2 seja idempotente.
  3. Mostre que um operador linear idempotente é diagonalizável.

Passo 1

  1. Do nosso estudo, a gente sabe que se λ i é autovalor de T respectivo a v i , λ i n é autovalor de T n respectivo a v i .

    2. Ou seja:

    T v i = T 2 v i ⇒ λ i v i = λ i 2 v i ⇒ λ i 2 - λ i v i = 0

    Como v i ≠ 0 , devemos ter:

    λ i 2 - λ i = 0

    Ou seja, λ i = 0   o u   λ i = 1 .

    Passo 2

  2. Pensa comigo: queremos algo que T ∘ T v = T v , ou seja, queremos que a composição de uma transformação com ela mesma seja igual a ela hahaha. Calma, é meio confuso mesmo.

    3. O ponto aqui é pensar em uma transformação que nada mude!

    A própria matriz identidade:

    1 0 0 1

    Outro exemplo seria a transformação T x , y = ( x , 0 ) . Isso porque:

    T 2 x , y = T ∘ T x , y = T ( T x , y )

    →

    T T x , y = T x , 0 = ( x , 0 )

    Beleza??

    Passo 3

  3. Se a matriz idempotente A possui autovalores:
  1. 0 e 1, então seu polinômio mínimo deve ser da forma:

    2. m x = x 2 - x

    Observe então que ele reamente é o polinômio mínimo de A . Logo, ela é diagonalizável.

  2. Se 0 é o único autovalor de A , então:

    3. m x = x

    O que é verdade, já que A = 0 .

  3. Se 1 é o único autovalor de A , então:

m x = x - 1

O que é verdade pois A - I = 0 .

Resposta

  1. 0   o u   1 ;
  2. Matriz identidade;
  3. Demonstração.
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