Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 11
Diz-se que um operador linear é idempotente se (isto é, se para todo ).
- Seja idempotente. Ache seus autovalores.
- Encontre uma matriz tal que seja idempotente.
- Mostre que um operador linear idempotente é diagonalizável.
Passo 1
- Do nosso estudo, a gente sabe que se é autovalor de respectivo a , é autovalor de respectivo a .
- Pensa comigo: queremos algo que , ou seja, queremos que a composição de uma transformação com ela mesma seja igual a ela hahaha. Calma, é meio confuso mesmo.
- Se a matriz idempotente possui autovalores:
Ou seja:
Como , devemos ter:
Ou seja, .
Passo 2
O ponto aqui é pensar em uma transformação que nada mude!
A própria matriz identidade:
Outro exemplo seria a transformação . Isso porque:
Beleza??
Passo 3
- 0 e 1, então seu polinômio mínimo deve ser da forma:
- Se 0 é o único autovalor de , então:
- Se é o único autovalor de , então:
Observe então que ele reamente é o polinômio mínimo de . Logo, ela é diagonalizável.
O que é verdade, já que .
O que é verdade pois .
Resposta
- ;
- Matriz identidade;
- Demonstração.
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Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A , encontrar uma matriz ortogonal P , para a qual P t A P seja diagonal. A = 7 - 2 - 2 - 2 1 4 - 2 4 1