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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 9

  1. Mostre que se T é uma transformação ortogonal do plano no plano, sua matriz em relação à base canônica só pode ser da forma:

    2. A = cos ⁡ α - s e n   α s e n   α cos ⁡ α

    Ou da forma:

    B = cos ⁡ α s e n   α s e n   α - cos ⁡ α

    (Sugestão: 9.3.3 (d))

  2. Observe que se a matriz de T for da forma dada por A T será uma rotação de um ângulo α (veja 5.2.4). Mostre que B = A J onde J = 1 0 0 - 1 . ( J é a matriz em relação à base canônica de reflexão no eixo x . ) Veja 5.2.2. Conclua finalmente, usando composição de funções, que se a transformação T for dada por B , T será uma reflexão através de uma reta do plano que passa pela origem.

Passo 1

  1. Vamos calcular a imagem dos vetores da base canônica usando o item d de 9.3.3:

    2. T 1,0 = ( a , b )

    Logo:

    T 1,0 = ( 1,0 ) = a , b ⇒ 1 = a 2 + b 2

    Além disso:

    T 0,1 = ( c , d )

    Logo:

    T 0,1 = ( 0,1 ) = c , d ⇒ 1 = c 2 + d 2

    Passo 2

    Se a transformação é ortogonal, devemos ter que o produto escalar das colunas é nulo, isto é:

    a c + b d = 0

    Do passo anterior, podemos escrever:

    a = c o s   α   e   b = sen ⁡ α

    Para algum α .

    c = c o s   θ   e   d = sen ⁡ θ

    Para algum θ .

    Disso, a gente tem que:

    s e n   α   s e n   θ + cos ⁡ α cos ⁡ θ = 0

    Da trigonometria, a gente lembra que isso é:

    cos ⁡ ( α - θ ) = 0

    α = θ + 2 n - 1 π 2

    Se 2 n - 1 for 1 ,   5 ,   … então:

    c o s α = - s e n θ

    E:

    s e n   α = c o s θ

    Que gera a matriz:

    cos ⁡ α s e n α s e n   α - cos ⁡ α

    Se 2 n - 1 for 3 ,   7 , … :

    c o s α = s e n θ

    s e n α = - c o s θ

    Que gera a matriz:

    cos ⁡ α - s e n α s e n   α cos ⁡ α

    Passo 3

  2. Primeiro vamos mostrar que B = A J , onde J = 1 0 0 - 1 . Basta multiplicar as matrizes, veja:

cos ⁡ α - s e n α s e n   α cos ⁡ α 1 0 0 - 1 = cos ⁡ α s e n   α s e n   α - cos ⁡ α

Passo 2

Conforme o 5.2 . 2 , J é uma reflexão em torno do eixo x . Então podemos pensar B como sendo a composições de duas transformações:

  1. J : que reflete o vetor em relação ao eixo x;
  2. A : rotaciona o plano em torno da origem.

Ou seja: como B é dada pela multiplicação de A por J , ele nada mais é que a composição dessas duas transformações, que pode ser interpretada como a reflexação de um vetor em torno do eixo x rotacionado de α , que é uma reta que passa pela origem.

Resposta

Demonstração.

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Mostre que uma transformação ortogonal do plano no plano deixa invariante a distância entre dois pontos, isto é, uev vetores quaisquer do plano, T u - T v = | | u - v | | (Sugestão: use o teorema 9.3.
Dada uma matriz A cujas colunas são vetores ortonormais, prove que A é ortogonal.
Seja α = { w 1 , w 2 , w 3 } uma base de V , um espaço vetorial real com produto interno , . u α = 2 - 1 3ev α = 5 2 - 3 Se u , v = 2 , a base α é ortonormal?
Ache os valores para x e y tais que x y - 1 0 seja uma matriz ortogonal.
Sejam α = { 1,1 , ( 2,0 ) } e β = { - 1,0 , ( 2,1 ) } . A partir das bases α e β construa bases ortonormais, usando o método de Gram-Schmidt. Se estas novas bases forem α ' e β ' respectivamente, most