- Mostre que se é uma transformação ortogonal do plano no plano, sua matriz em relação à base canônica só pode ser da forma:
Ou da forma:
(Sugestão: 9.3.3 (d))
- Observe que se a matriz de for da forma dada por será uma rotação de um ângulo (veja 5.2.4). Mostre que onde . ( é a matriz em relação à base canônica de reflexão no eixo . ) Veja 5.2.2. Conclua finalmente, usando composição de funções, que se a transformação for dada por , será uma reflexão através de uma reta do plano que passa pela origem.
Ou da forma:
(Sugestão: 9.3.3 (d))
Passo 1
- Vamos calcular a imagem dos vetores da base canônica usando o item d de 9.3.3:
- Primeiro vamos mostrar que , onde . Basta multiplicar as matrizes, veja:
Logo:
Além disso:
Logo:
Passo 2
Se a transformação é ortogonal, devemos ter que o produto escalar das colunas é nulo, isto é:
Do passo anterior, podemos escrever:
Para algum .
Para algum .
Disso, a gente tem que:
Da trigonometria, a gente lembra que isso é:
Se for então:
E:
Que gera a matriz:
Se for :
Que gera a matriz:
Passo 3
Passo 2
Conforme o , é uma reflexão em torno do eixo . Então podemos pensar como sendo a composições de duas transformações:
- que reflete o vetor em relação ao eixo x;
- rotaciona o plano em torno da origem.
Ou seja: como é dada pela multiplicação de por , ele nada mais é que a composição dessas duas transformações, que pode ser interpretada como a reflexação de um vetor em torno do eixo rotacionado de , que é uma reta que passa pela origem.
Resposta
Demonstração.