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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 8.9 - Ex. 14

Seja A = a i j n × n uma matriz quadrada. Definimos o traço de A , T r ( A ) , por ∑ i = 1 n a i i

  1. Calcule T r 2 - 1 3 5
  2. T r A B = T ( B A ) ?
  3. T r A = T r ( A t ) ?
  4. T r A = T r A - 1 - 1 ?
  5. T r A B = T r ( A ) T r ( B ) ?

Passo 1

  1. Essa é simples:

    2. a 11 + a 22 = 2 + 5 = 7

    Passo 2

  2. Bom, pra facilitar, vamos fazer A B = C . Do produto de matrizes, a gente pode escrever:

    3. c i i = ∑ k = 1 n a i k b k i = ∑ k = 1 n b k i a i k

    Vamos então fazer o cálculo do traço de C :

    ∑ i = 1 n c i i = ∑ i = 1 n ∑ k = 1 n b k i a i k = ∑ k = 1 n ∑ i = 1 n b k i a i k

    Seja D = B A , veja que:

    d k k = ∑ i = 1 n b k i a i k

    Ou seja:

    T r A B = ∑ i = 1 n c i i = ∑ k = 1 n ∑ i = 1 n b k i a i k = ∑ k = 1 n d k k = T r ( B A )

    Passo 3

  3. Veja que a i j = a j i T . Então i = j implica:

    4. a i i = a i i T

    Logo:

    ∑ i = 1 n a i i = ∑ i = 1 n a i i T

    Passo 4

  4. A inversa da matriz do item a é:

    5. 2 - 1 3 5 - 1 = 5 13 1 13 - 3 13 2 13

    O seu traço é: 5 13 + 2 13 = 7 13

    Veja que: 7 13 - 1 = 13 7 ≠ 7

    Passo 5

  5. Sejam as matrizes:

2 1 3 1   e   1 1 1 1

Temos:

2 1 3 1 ∙ 1 1 1 1 = 3 3 4 4

T r 2 1 3 1 = 2 + 1 = 3  

T r 1 1 1 1 = 1 + 1 = 2

T r 3 3 4 4 = 7

Veja que:

3 ∙ 2 ≠ 7

Resposta

  1. 7;
  2. Verdadeira, demonstração;
  3. Verdadeira, demonstração;
  4. Falsa;
  5. Falsa.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja β = - 1,1 , 1,1 . Ache uma base ortornormal β ' de R 2 , em relação ao produto interno definido no exercício 2.
Podemos definir uma “distância” entre dois pontos P = ( x 1 , y 1 ) e Q = ( x 2 , y 2 ) do plano por d P , Q = x 2 - x 1 + | y 2 - y 1 | (veja a Figura 8.9.1). Verifique se a aplicação dada por:x 1 ,
Determine uma base ortonormal (em relação ao produto interno canônico) para o seguinte subespaço de R 3 : V = { x , y , z ∈ R 3 ; x - y + z = 0 }
Seja V = R 2 . Sejam v 1 = ( x 1 , y 1 ) e v 2 = x 2 , y 2 . Se f v 1 ,v 2 = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 , mostre que f é um produto interno.
Mostre a desigualdade triangular. (Veja 8.3.2 - iv) (Sugestão: v + w 2 = v + w , v + w ); desenvolva e use a desigualdade de Schwarz – 8.3.2 – iii).