Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 13e
Para cada uma das seguintes matrizes simétricas , encontrar uma matriz ortogonal , para a qual seja diagonal.
Passo 1
O problema fornece uma matriz simétrica e pede para encontrarmos uma matriz ortogonal de modo que seja diaogonal.
Para isso, temos que lembrar que uma matriz simétrica é sempre diagonal e seus autovetores serão ortogonais entre si. Assim, a matriz de mudança de base construída com os autovetores de será ortogonal ). Desta forma, o que temos que fazer é encontrar os autovetores de e normalizá-los para construir !
O primeiro passo é encontrar os autovalores de pela equação característica:
Assim,
Desta forma, desenvolvendo o determinante com relação a primeira linha:
Assim,
Desta forma,
Logo,
Fatorando por agrupamento:
Portanto, os autovalores são
Passo 2
Agora vamos procurar os autovetores:
Para :
Assim, tiramos que
Logo,
Para que ele seja normalizado, :
Já para o segundo autovalor :
Assim, tiramos que
Da primeira equação tiramos . Substituindo nas outras duas:
Logo,
Portanto,
Por fim, para :
Na primeira linha:
Na segunda:
Logo,
Passo 3
Agora que temos os autovetores, basta construir a matriz com eles:
Com essa matriz,