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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 24f

Dizemos que uma matriz A , n   x   n , é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A . (f)Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica.

Passo 1

Fala aee, galera! Tudo bem? 😊

Seja A uma matriz, então A pode ser escrita como:

A = A 2 + A 2

Passo 2

Ela também pode ser escrita como:

A = A 2 + A 2 + A t 2 - A t 2

A = A + A t 2 + A - A t 2

Onde A + A t 2 é simétrica, pois:

A + A t 2 = A + A t 2 t

Onde A t - A t 2 é anti-simétrica, pois:

A - A t 2 = - A - A t 2 t

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Dizemos que uma matriz A , nxn , é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A . (a)Mostre que se A é simétrica, então a i j = a j i , para i , j = 1 , … , n e que se A é anti-simétrica, entã
(b)Sejam B e C matrizes m x n , tais B X = C X , para todo X , n x 1 . Mostre que B = C .
Dizemos que uma matriz A , nxn , é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A . (b)Mostre que se A e B são simétricas, então A + B e α A são simétricas, para todo escalar α .
Para matrizes quadradas A = a i j n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal(principal) de A , ou seja, t r A = ∑ i = 1 n a i i .(a) Mostre que t r A + B = t r A + t r (