Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 24a
Dizemos que uma matriz é simétrica se e é anti-simétrica se (a)Mostre que se é simétrica, então para e que se é anti-simétrica, então , para Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são iguais a zero.
Passo 1
Fala aee, galera! Tudo bem? 😊
Vamos considerar a matriz sendo:
Portanto:
Ah, vamos usar uma matriz para deixar o exemplo mais visível. Para uma matriz precisaríamos apenas adicionar as reticências.
Passo 2
Se é uma matriz simétrica, então:
A matriz transposta de é dada por:
Assim:
Portanto:
Passo 3
Se é uma matriz anti-simétrica, então:
Ou seja:
Assim:
Portanto:
Resposta
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(a)Mostre que se A é uma matriz mxn tal que A X = 0 , para toda matriz X , nx1 , então A = 0 .
Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativo. Mostre que: (a)Se D 1 e D 2 são matrizes diagonais nxn , então D 1 D 2 = D 2 D 1 .
Seja D = λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 λ n uma matriz diagonal nxn , isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a n 1 a
Dizemos que uma matriz A , nxn , é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A . (e)Mostre que para toda matriz A ,nxn ,A + A t é simétrica e A - A t é anti-simétrica.
Sejam A , B e C matrizes nxn . (a) A B C = C ( A B ) ? E se A C = C AeB C = C B? Justifique.