As duas partes deste exercício indicam o caminho para provar o Teorema 5.3.8

1. Para simplificar a notação, seja

E escreva e , de modo que

Mostre que a relação implica:

E então iguale as partes real e imaginária nessa equação para mostrar que:

2. Mostre que P é invertível, com o que termina a prova, pois o resultado da parte (a) implica . [Sugestão: se P não for invertível, então um de seus vetores caluna é múltiplo escalar real do outro, digamos Substituindo isso nas equações e obtidas na parte (a), mostre que . Finalmente, mostre que isso leva a uma contradição, provando que P é invertível]

Para encontrar os autovalores usamos a expressão:

Resolvendo, encontramos os autovalores:

. Então vamos encontrar o autovetor associado:

Resolvendo por Eliminação Gaussiana, podemos multiplicar a segunda linha por :

Como a primeira e segunda linha são iguais podemos eliminar a segunda linha. Depois dividimos a primeira linha por :

Logo:

Se chamarmos de

O autovetor será:

Uma solução possível é quando

. Então vamos encontrar o autovetor associado:

Resolvendo por Eliminação Gaussiana, podemos multiplicar a primeira linha por :

Como a primeira e segunda linha são iguais podemos eliminar a segunda linha. Depois dividimos a primeira linha por :

Logo:

Se chamarmos de

O autovetor será:

Uma solução possível é quando

Vamos olhar para o altovetor

O produto entre o autovalor e o autovetor é:

A questão nos diz como definir os vetores e

Então vamos calcular o produto

Podemos reorganizar os termos:

Aplicando os valores de e

E demonstramos que:

A matriz P é definida como:

O produto é:

E o produto AP é definido como:

Isso demonstra que