As duas partes deste exercício indicam o caminho para provar o Teorema 5.3.8

1. Para simplificar a notação, seja

E escreva e , de modo que

Mostre que a relação implica:

E então iguale as partes real e imaginária nessa equação para mostrar que:

2. Mostre que P é invertível, com o que termina a prova, pois o resultado da parte (a) implica . [Sugestão: se P não for invertível, então um de seus vetores caluna é múltiplo escalar real do outro, digamos Substituindo isso nas equações e obtidas na parte (a), mostre que . Finalmente, mostre que isso leva a uma contradição, provando que P é invertível]

Agora, vamos aplicar em

Logo:

Vamos igualar as expressões que obtemos nos passos anteriores:

Aplicando a propriedade distributiva:

Fazemos um pouco de aritimética:

Multiplicamos tudo por

Chegamos em:

Vamos jogar o pro outro lado dividirndo, e vamos distribuir :

E como sabemos que:

Reorganizando:

Bem, mas se então ele não pode ser . Isto é claramente uma contradição.

Então se considerarmos que não é inversível leva a uma contradição, então, por consequência, tem que ser inversível.