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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 36

Neste problema, provamos o análogo complexo da desigualdade de Cauchy-Schwarz.

  1. Prove: se k for um número complexo e u → e v → vetores em C N , então

    2. u → - k v → ⋅ u → - k v → = u → ⋅ u → - k - u → ⋅ v → - k u → ⋅ v → - + k k - ( v → ⋅ v → )

  2. Use o resultado da parte (a) para provar que

    3. 0 ≤ u → ⋅ u → - k - u → ⋅ v → - k u → ⋅ v → - + k k - ( v → ⋅ v → )

  3. Tomando k = ( u → ⋅ v → ) / ( v → ⋅ v → ) na parte (b), prove que

u → ⋅ v → ≤ u → ⋅ v →

Passo 1

Item A)

Queremos calcular o produto abaixo

u → - k v → ⋅ u → - k v → =   ?

Vamos aplicar a propriedade distributiva:

u → - k v → ⋅ u → - k v → = u → u → - k v → - k v → u → - k v →

u → - k v → ⋅ u → - k v → = u → ⋅ u → - u → ⋅ k v → - k v → ⋅ u → + k v → ⋅ k v →

Pelo Teorema 5.3.3d) podemos reorganizar os produtos da seguinte forma: u → ⋅ k v → = k - ( u → ⋅ v → )

u → - k v → ⋅ u → - k v → = u → ⋅ u → - k - u → ⋅ v → - k v → ⋅ u → + k k - ( v → ⋅ v → )

Ainda no teorema 5.3.3, podemos ver que v → ⋅ u → = ( u → ⋅ v → ) -

u → - k v → ⋅ u → - k v → = u → ⋅ u → - k - u → ⋅ v → - k u → ⋅ v → - + k k - ( v → ⋅ v → )

Como queremos demonstrar.

Passo 2

Item B)

Pelas propriedades do produto interno, sabemos que o produto interno de um vetor por ele mesmo é igual a norma ao quadrado:

u → - k v → ⋅ u → - k v → = u → - k v → 2

E sabemos que a norma é sempre positiva. Então, a norma ao quadrado também será positiva:

u → - k v → ⋅ u → - k v → = u → - k v → 2 ≥ 0

Então:

u → - k v → ⋅ u → - k v → ≥ 0

Vamos substituir o valor que calculamos no Passo 1:

u → ⋅ u → - k - u → ⋅ v → - k u → ⋅ v → - + k k - ( v → ⋅ v → ) ≥ 0

Passo 3

Item C)

Temos que:

k = u → ⋅ v → v → ⋅ v →

Vamos substituit na expressão do passo anterior:

u → ⋅ u → - k - u → ⋅ v → - k u → ⋅ v → - + k k - ( v → ⋅ v → ) ≥ 0

u → ⋅ u → - u → ⋅ v → v → ⋅ v → - u → ⋅ v → - u → ⋅ v → v → ⋅ v → u → ⋅ v → - + u → ⋅ v → v → ⋅ v → ⋅ u → ⋅ v → v → ⋅ v → - ( v → ⋅ v → ) ≥ 0

Perceba que u → ⋅ v → v → ⋅ v → - = u → ⋅ v → - v → ⋅ v → :

u → ⋅ u → - u → ⋅ v → - v → ⋅ v → u → ⋅ v → - u → ⋅ v → v → ⋅ v → u → ⋅ v → - + u → ⋅ v → v → ⋅ v → ⋅ u → ⋅ v → - v → ⋅ v → ( v → ⋅ v → ) ≥ 0

Vamos fazer algumas simplificações:

u → ⋅ u → - u → ⋅ v → - v → ⋅ v → u → ⋅ v → - u → ⋅ v → ⋅ u → ⋅ v → - v → ⋅ v → + u → ⋅ v → ⋅ u → ⋅ v → - v → ⋅ v → ≥ 0

u → ⋅ u → - u → ⋅ v → - v → ⋅ v → u → ⋅ v → ≥ 0

Perceba que: u → ⋅ v → - u → ⋅ v → = u → ⋅ v → 2

u → ⋅ u → - u → ⋅ v → 2 v → ⋅ v → ≥ 0

E como o produto escalar entre dois vetores iguais é a norma ao quadrado:

u → 2 - u → ⋅ v → 2 v → 2 ≥ 0

u → 2 ≥ u → ⋅ v → 2 v → 2

E chegamos na expressão que queremos demonstrar:

u → 2 v → 2 ≥ u → ⋅ v → 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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