Segue do Teorema 5.3.7 que os autovalores da matriz de rotação

São Prove que se for um autovetor associado a um desses autovalores, então e são ortogonais e têm o mesmo comprimento. [Nota: isso implica que é um múltiplo escalar real de uma matriz ortogonal.]

Para o autovalor

Simplificando a expressão:

Colocamos o em evidência:

Jogamos o seno por outro lado dividindo:

Vamos resolver por eliminação Gaussiana. Se multiplicar a primeira linha por teremos:

Como as duas linhas são iguais, podemos zerar a segunda linha:

Resolvendo:

Logo:

Se chamarmos de , teremos:

O autovetor será:

Uma solução é quando

Para o autovalor

Simplificando a expressão:

Vamos resolver por eliminação Gaussiana. Dividindo as duas linhas por

Multiplicamos a segunda linha por

E eliminamos a segunda linha

Logo:

Se chamarmos de

O autovetor será:

Uma solução possível é quando

Vamos pegar como exemplo

A componente real de é:

E a componente complexo de é:

Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles é zero:

Isso demonstra que eles são ortogonais.

Agora vamos calcular o comprimento dos vetores.

E isso demonstra que os vetores têm o mesmo comprimento.