Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 14
Encontre os autovalores e bases dos autoespaços de , sendo
Passo 1
Uma propriedade muito importante para encontrarmos os autovalores de uma matriz, principalmente nesses casos, onde é uma matriz de ordem elevada, o que dificulta os cálculos é ver se ela é uma matriz triangular (triangular superior, triangular inferior e diagonal), neste caso, os autovalores são os valores encontrados na diagonal principal. Caso a matriz não seja, podemos fazer o escalonamento e encontrar os autovalores.
Como podemos perceber, será necessário escalonar a matriz A, até tornamos ela em uma matriz triangular.
Passo 2
Agora que temos a nossa matriz triangular, sabemos definir muito bem quais são os nossos autovalores, sendo assim,
Vale ressaltar que o autovalor possui multiplicidade de 2.
Passo 3
Agora que encontramos nossos autovalores, utilizaremos outra propriedade para terminarmos de resolver as questões. Essa propriedade é bem mais simples que a outra, ela diz que se uma matriz A possui um autovalor , logo uma matriz , possui um autovalor
Desta maneira, a nossa resposta final fica,
Passo 4
Nesse passo, vamos utilizar o mesmo método que utilizamos em exercícios anteriores para encontramos as bases dos autoespaços da matriz, lembrando que cada um corresponderá a um autovalor diferente.
Para ,
Reescrevendo na forma de equação temos então,
Resolvendo o sistema,
Passo 5
Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor é,
Para ,
Reescrevendo na forma de equação temos então,
Resolvendo o sistema, usando rendimentos de eliminação gaussiana
Logo, o autovalor de A corresponde a são os vetores diferentes de zero da forma
Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor é,
Resposta
Vide a explicação