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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 8c

Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 6.

Passo 1

Para encontramos os autoespaços das matrizes do exercício 6, teremos que aplicar a seguinte propriedade abaixo, e teremos que fazer isso para cada um dos autovalores encontrados. Iremos que começar com a matriz da letra A da questão 6, e depois, iremos seguirmos os mesmos passos para as outras.

A - λ I x = 0

Agora temos que arrumar esta igualdade de forma a corresponder com cada item do exercício 6, nesse primeiro caso teremos,

- 2 - λ 0 1 - 6 - 2 - λ 0 19 5 - 4 - λ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para λ = 0,89   ,

- 2 , 89 0 1 - 6 - 2 , 89 0 19 5 - 4 , 89 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

- 2,89 x 1 + x 3 = 0 - 6 x 1 - 2 , 89 x 2 = 0 19 x 1 + 5 x 2 - 4,89 x 3 = 0

Passo 2

Agora, teremos que resolver o sistema para encontrarmos nossa resposta. Aplicando qualquer tipo de solução de sistemas, encontraremos o seguinte resultado,

x 3 = 2,89 x 1

x 2 = - 2,07 x 1

Passo 3

Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,

x 1 - 2,07 x 1 2,89 x 1

Resposta

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 0,89 é,

1 - 2,07 2,89

Terminando essa etapa, teremos que repetir todo o processo acima para os outros autovalores para finalizarmos a questão.

Para λ = - 7,73   ,

5,73 0 1 - 6 5,73 0 19 5 3,73 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

5,73 x 1 + x 3 = 0 - 6 x 1 + 5,73 x 2 = 0 19 x 1 + 5 x 2 + 3,73 x 3 = 0

Resolvendo o sistema,

x 3 = - 5,73 x 1

x 2 = 1,04 x 1

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = - 7,73 é,

1 1 , 04 - 5,73

Para λ = - 1,15     ,

- 0,85 0 1 - 6 - 0,85 0 19 5 - 2,85 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

- 0,85 x 1 + x 3 = 0 - 6 x 1 - 0,85 x 2 = 0 19 x 1 + 5 x 2 - 2,85 x 3 = 0

Resolvendo o sistema,

x 3 = 0,85 x 1

x 2 = - 7,05 x 1

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = - 1,15 é,

1 - 7,05 - 0,85

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