Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 5b
Encontre bases dos autoespaços das matrizes no Exercício 3.
Passo 1
Para encontramos os autoespaços das matrizes do exercício 3, teremos que aplicar a seguinte propriedade abaixo, e teremos que fazer isso para cada um dos autovalores encontrados.
Agora temos que arrumar esta igualdade de forma a corresponder com a matriz que já conhecemos, nesse primeiro caso teremos,
Para ,
Reescrevendo na forma de equação temos então,
Botando em evidência,
Passo 2
Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,
Resposta
Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor é,
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10. Supondo que b ≠ 0 , encontre uma matriz que diagonaliza ortogonalmente a matriz. A = a b b a
Seja A uma matriz diagonalizável tal que autovetores associados a autovalores distintos sejam ortogonais. A será necessariamente simétrica? Explique seu raciocínio.
Encontre uma matriz 3×3 simétrica cujos autovalores sejam λ 1 =- 1 ,λ 2 =3 ,λ 3 =7 e os autovetores associados sejam v 1 =( 0 ,1 ,- 1 ) , v 2 =1 ,0 ,0 ,v 3 =( 0 ,1 ,1 ) .Existe uma matriz 3×3 simétric
Use o resultado do Exercício 18 para provar que se p λ for o polinômio característico de uma matriz A de tamanho 2x2, então p A = 0 .
Encontre os autovalores e bases dos autoespaços de A =- 2 2 3 - 2 3 2 - 4 2 5 e use os Exercícios 23 e 24 para encontrar os autovalores e bases dos autoespaços deb) A - 3 I