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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 18

  1. Encontre uma matriz 3   ×   3 simétrica cujos autovalores sejam λ 1 =   - 1 ,   λ 2 =   3 ,   λ 3 =   7 e os autovetores associados sejam v 1 =   ( 0 ,   1 ,   - 1 ) , v 2 =   1 ,   0 ,   0 ,   v 3 =   ( 0 ,   1 ,   1 ) .

  2. Existe uma matriz 3   ×   3 simétrica cujos autovalores sejam λ 1 =   - 1 ,   λ 2 =   3 ,   λ 3 =   7 e os autovetores associados sejam v 1 =   ( 0 ,   1 ,   - 1 ) , v 2 =   1 ,   0 ,   0 ,   v 3 =   ( 1 ,   1 ,   1 ) ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

  1. Vamos lá! Primeiro devemos normalizar nossos vetores v 1 e v 3 para que nossa matriz P seja ortonormal, Assim temos:

    u 1 = v 1 v 1 = 0 , 1 2 ,   - 1 2

    u 3 = v 3 v 3 = 0 , 1 2 ,   1 2

    Passo 2

    Agora vamos usar o conceito de decomposição espectral para encontra nossa matriz A .

    Sendo A uma ortogonalmente diagonalizável temos que:

    A = λ 1 u 1 u 1 T + λ 2 u 2 u 2 T + λ 3 u 3 u 3 T

    Assim:

    A = - 1 ⋅ 0 1 2 - 1 2 ⋅ 0 1 2 - 1 2 + 3 ⋅ 1 0 0 ⋅ 1 0 0 + 7 ⋅ 0 1 2 1 2 ⋅ 0 1 2 1 2

    A = - 1 ⋅ 0 0 0 0 1 2 - 1 2 0 - 1 2 1 2 + 3 ⋅ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 + 7 ⋅ 0 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2

    A =   3 0 0 0 3 4 0 4 3

    Passo 3

Vamos seguir o raciocínio da letra (a)! Assim temos:

A = λ 1 u 1 u 1 T + λ 2 u 2 u 2 T + λ 3 u 3 u 3 T

Normalizando v 3 :

u 3 = v 3 v 3 = 1 3 ,   1 3 ,   1 3

Entretanto nossos vetores:

u 1 = 0 1 2 - 1 2

u 2 = 1 0 - 0

u 1 = 1 3 1 3 1 3

Não são ortonormais, u 3 ⋅ u 1 ≠ 0 , u 3 ⋅ u 2 ≠ 0 .

Logo nossa matriz A não é ortogonalmente diagonalizável, isso significa que ela não é simétrica.

Isso é tudo pessoal! Até a próxima!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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