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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 11b

Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 9.

Passo 1

Para encontramos os autoespaços das matrizes do exercício 9, teremos que aplicar a seguinte propriedade abaixo, e teremos que fazer isso para cada um dos autovalores encontrados. Iremos que começar com a matriz da letra A da questão 6, e depois, iremos seguirmos os mesmos passos para as outras.

A - λ I x = 0

Agora temos que arrumar esta igualdade de forma a corresponder com cada item do exercício 6, nesse primeiro caso teremos,

10 - λ - 9 4 - 2 - λ 0                 0 0                 0 0                             0 0                             0 - 2 - λ - 7 1 2 - λ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Para λ = 10 ,

0 - 9 4 - 12 0       0 0       0 0 0 0 0 - 12 - 7 1 - 8 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Reescrevendo na forma de equação temos então,

- 9 x 2 = 0 4 x 1 - 12 x 2 = 0 - 12 x 3 - 7 x 4 = 0 x 3 - 8 x 4 = 0

Passo 2

Agora, teremos que resolver o sistema para encontrarmos nossa resposta. Aplicando qualquer tipo de solução de sistemas, encontraremos o seguinte resultado,

x 2 = 0

x 1 = 0

x 3 = 8 x 4

x 4 = 0

Passo 3

Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,

0 0 0 0

Resposta

Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor λ = 10 é,

0 0 0 0

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