Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 18
Mostre que a equação característica de uma matriz A de tamanho 2 x 2 pode ser expressa como , onde é o traço de A.
Passo 1
Definindo uma matriz genérica 2 x 2 para resolvermos a questão tem-se,
Primeiro temos que lembrar o que é o traço de uma matriz, e isso não é muito complicado, olha como é a definição,
Ou seja, a soma dos termos da diagonal principal da matriz. E apenas para recapitularmos, para se calcular o determinante de uma matriz 2 x 2 temos,
Passo 2
Com tudo isso muito bem definido, vamos encontrar o polinômio característicos da matriz A, utilizando os mesmos passos que a gente vem usando nos outros exercícios.
Então, teremos a seguinte equação,
Resposta
E agora não é muito difícil perceber as substituições que podemos fazer, e então, provamos que a equação característica pode ser expressa da seguinte forma,