Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 17

Seja A uma matriz n x n. Prove que o polinômio característico de A tem grau n. Prove que o coeficiente de no polinômio característico é 1.

Passo 1

Primeiramente, vamos escrever uma matriz genérica A com dimensões n x n, da seguinte forma,

Temos que lembrar também que para encontrarmos a equação característica temos que usar uma propriedade que já usamos em outros exercícios também,

Dessa forma, podemos reescrever a matriz da seguinte forma,

Agora, não precisamos calcular todo o determinante para provarmos o grau do polinômio, só lembrarmos que que fazemos o produto dos termos da diagonal principal, no cálculo do determinante. Sabemos que nesse caso faremos uma multiplicação apenas com os , essa multiplicação que irá determinar o grau da equação, sendo assim,

Com isso, provamos que polinômio característico tem grau n.

Passo 2

O outro problema da questão, é bem mais simples, ao analisarmos o grau da equação, percebemos o grau dele será um, ou seja, , sabendo que para chegarmos nesse resultado foi o produto entre todo os da diagonal principal e apenas eles, logo, o coeficiente de no polinômio característico é 1.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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