Enunciado

Encontre uma decomposição em valores singulares de A.

3 3 3 3

Passo 1

Primeiro temos de encontrar os autovalores de A T A , para podermos encontrar os valores singulares de A .

A T A = 3 3 3 3 ⋅ 3 3 3 3 = 18 18 18 1 8

Agora calculando o determinante da nossa matriz pela matriz identidade λ

det ⁡ A T A - λ I = 18 - λ 18 18 1 9 - λ = 0

Assim temos que:

18 - λ 18 - λ - 18 ⋅ 18 = 0

λ 2 - 36 λ + 324 - 324 = 0

λ λ - 36 = 0

λ 1 = 36 ,   λ 2 = 0

σ 1 = 6

Passo 2

Agora temos de encontrar os autovetores unitários não-nulos correspondentes aos nossos autovalores.

( A T A - λ 1,2 ) x = 0 → 18 18 18 18 a b = 0 0

a = 1 ,   b = 1

Assim:

v 1 = 1 2 ,   1 2 ,   v 2 = ( - 1 2 ,   1 2 )

Finalmente podemos achar nossos vetores colunares da nossa matriz ortogonal U .

u 1 = 1 2 ,   1 2 ,   u 2 = ( - 1 2 ,   1 2 )

Passo 3

Assim nossa decomposição de valores singulares fica:

A = 3 3 3 3 = 1 2 - 1 2 1 2 1 2 ⋅ 6 0 0 0 ⋅ 1 2 1 2 - 1 2 1 2 = U Σ V T

Resposta

1 2 - 1 2 1 2 1 2 ⋅ 6 0 0 0 ⋅ 1 2 1 2 - 1 2 1 2

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