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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 16

Nos exercícios 15-16, use a decomposição P L U dada de A para resolver o sistema A x = b reescrevendo-o como P - 1 A x = P - 1 b e resolvendo esse sistema por decomposição L U .

b = 3 0 6 ; A =   4 1 2 0 2 1 8 1 8

A = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 - 2 1 4 1 2 0 - 1 4 0 0 9 = P L U

Passo 1

O exercício pede para resolver o sistema por l P U que está descrito em A

1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 - 2 1 4 1 2 0 - 1 4 0 0 9 x 1 x 2 x 3 = 3 0 6

E depois temos que decompor a matriz A em L U

L = 1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1           e             U = x 11 x 12 x 13 0 x 22 x 23 0 0 x 33

Passo 2

Resolvendo o sistema por P L U temos

1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 - 2 1 4 1 2 0 - 1 4 0 0 9 x 1 x 2 x 3 = 3 0 6

1 0 0 0 - 2 1 2 1 0 4 1 2 0 - 1 4 0 0 9 x 1 x 2 x 3 = 3 0 6

4 1 2 0 2 1 8 1 8 x 1 x 2 x 3 = 3 0 6

Confirmando que é possível fazer a decomposição de A por P L U . Continuando com Gauss-Jordan

4 1 2 |           3 0 2 1 |           0 8 1 8 |           6 ∼ 1 0 0 |         3 4 0 1 0 |         0 0 0 1 |         0

Passo 3

Agora, para fazer a decomposição L U de A , vamos começar a fazer o escalonamento da matriz U

4 1 2 0 2 1 8 1 8 ( - 2 ) ∼ 4 1 2 0 2 1 0 - 1 4 × 1 / 2 ∼ 4 1 2 0 2 1 0 0 9 2

Passo 4

Para montar a matriz L, entramos em outro sistema de equações:

1 0 0 x 21 1 0 x 31 x 32 1 4 1 2 0 2 1 0 0 9 2 =   4 1 2 0 2 1 8 1 8

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4 1 2 4 x 21 x 21 + 2 2 x 21 + 1 4 x 3 1 x 31 + 2 x 32 2 x 31 + x 32 + 9 2 =     4 1 2 0 2 1 8 1 8

4 x 21 = 0 → x 21 = 0

x 21 + 2 = 2 → x 21 = 0

2 x 21 + 1 = 1 → x 21 = 0

4 x 3 1 = 8 → x 31 = 2

x 31 + 2 x 32 = 1 → 2 x 32 = - 1 → x 32 = - 1 2

2 x 31 + x 32 + 9 2 = 8 → 2 × 2 + - 1 2 + 9 2 = 8 → 8 = 8

Dá pra sacar dá pra resolver com L U , porque 8 = 8 .

L = 4 1 2 0 2 1 2 - 1 2 8

Passo 5

Fazendo a prova real:

4 1 2 0 2 1 2 - 1 2 8 4 1 2 0 2 1 0 0 9 2 =   4 1 2 0 2 1 8 1 8

  16 6 18 0 4 13 2 8 1 79 2 =   4 1 2 0 2 1 8 1 8

Ixi... Deu bem errado né? Por essa forma, a melhor decomposição para essa matriz é P L U !

Resposta

x 1 = 3 4

x 2 = 0

x 3 = 0

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