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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 19

Seja

A = a b c d  

  1. Prove: se a ≠ 0 , então a matriz A tem uma única decomposição L U com entradas 1 na diagonal principal de L

  2. Encontre a decomposição L U descrita na parte (a)

Passo 1

  1. Para provar que existe só uma decomposição, temos que provar só é possível fazer L U e que não é possível fazer L D U

    2. A = L U = 1 0 x 21 1 x 11 x 12 0 x 22 = a b c d  

    L D U =   1 0 x 21 1 x 11 0 0 x 22 1 x 12 0 1

    Passo 2

    Nossa matriz é:

    a b c d    

    Vamos encontrar a diagonal, o pivô (p) será a :

    α p = - c → p = - c a

    a b c d - c a ∼ a b a - c a + c b - c a + d ∼   a b 0 - b c a + d

    Agora para zerar b

    - b c a + d p = - b → p = a b b c - d a

    D = a 0 0 - b c a + d × a b b c - d a

    Passo 3

    Agora para descobrir L , faremos L D

    1 0 x 21 1 a 0 0 - b c a + d = a b c d    

    a d x a - b c a + d = a b c d

    O que já torna incongruente, afinal

    b = d

    - b c a + d = d →   - d c a = 0

    Assim

    b = d = 0

    Logo a matriz ficará diferente de L , porque a pode assumir qualquer valor e não tendo a diagonal principal apenas com o número 1

    a 0 x a 0 ≠ 1 0 x 21 1

    Passo 4

  2. Agora faremos L U na matriz ,   A começando pelo U , usando como pivô ( p ) o A

a p = - c → p = - c a

a b c d   ( - c a ) ∼ a b 0 - b c a + d  

Para continuar, colocaremos o oposto do multiplicador p no lugar do x 21

1 0 x 21 1 ∼ 1 0 c a 1

Passo 2

Para verificar se está correto, fazemos L U = A

1 0 c a 1 a b 0 d a - b c a = a b c d

a b c d = a b c d

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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