Exercícios de Transformação Linear - Lista de Exercícios Resolvida

À questão “Dado fixo, a transformação dada por é linear?”, Andrezinho respondeu da seguinte maneira:

a) Embora seja realmente uma transformação linear, a justificativa do Andrezinho não está correta. Qual foi o erro que ele cometeu?

b) Mostre que é linear.

Determine se são transformações lineares :

Verifique se é linear:

Seja o espaço vetorial e a transformação linear:

Mostre que é linear.

Seja e considere o sistema linear homogêneo

nas incógnitas reais e . Temos que o subespaço de formado pelo conjunto das soluções desse sistema terá dimensão igual a se, e somente se, for igual a:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

01) Seja a transformação linear definida por:

Para quaisquer Considere as seguintes afirmações:

1. é injetora;
2. é gerado por:

e

3. O subespaço vetorial:

De está contido em

Assinale a alternativa correta:

a) apenas a afirmação II é verdadeira;

b) apenas a afirmação I é verdadeira;

c) apenas as afirmações II e III são verdadeiras;

d) apenas a afirmação III é verdadeira;

e) todas as afirmações são verdadeiras.

Se é o operador linear que satisfaz , e , e são tais que , então é igual a

Seja o operador linear definido por:

Para todos reais. Considere as base de e seja

a base de tal que:

Então é igual á:

Considere as bases. , e , bases de ,respectivamente . Se é a transformação linear tal que:

é:

Então

é:

Seja um operador linear e considere as seguintes afrmações:

é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos autoespaços de é igual a 16;

se é a matriz que representa com respeito a alguma base de , então

se é diagonalizável e 4, -4, 16, -16 pertencem ao conjunto dos autovalores de , então a matriz que representa com respeito a qualquer base de é inversível.

Assinale a alternativa correta:

apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;

apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras.

Seja o operador linear definido por:

Para todos reais.

Considere as bases de e seja

a base de tal que:

Então é igual a:

Seja um inteiro positivo, um espaço vetorial de dimensão e um operador linear. Considere as seguintes condições:

1. É inversível
2. Tem autovalores não nulos distintos
3. É diagonalizável

Assinale a alternativa correta:

1. 1 implica 2; 3 implica 2
2. 2 implica 3; 3 implica 1
3. 1 implica 2; 3 implica 1
4. 2 implica 1; 3 implica 1
5. 2 implica 1; 2 implica 3

Seja um operador linear e denote por a matriz que representa com respeito a base canônica de . Suponha que:

;

e

Onde Representa o operador identidade.Então pode ser escrita como:

Sejam um inteiro, uma base de , um operador linear e . Denote por o operador identidade de e considere as seguintes opções.

1. Se alguma coluna de é combinação linear das outras colunas, então o operador não é sobrejetor.
2. Se alguma linha de é combinação linear das outras linhas, então é um autovalor de
3. Se tem dimensão , tão não existe um autovalor tal que tenha dimensão

Quais delas são verdadeiras?

Seja um espaço vetorial de dimensão e um operador linear cujo polinômio característico é

Denote por o operador identidade de . Então o operador é diagonalizável se e somente se:

Sejam F e G os operadores lineares de tais que

Em que B denota a base canônica de e .

Se , então é igual a

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

a)Se é uma transformação linear, então é base ortonormal de R².

b) Se é uma transformação linear tal que é base ortonormal de R², então T é diagonalizável.

c) Se é uma transformação linear tal que é base ortonormal de R², então T é ortogonalmente diagonalizável.

d) Se é uma transformação linear tal que sua matriz [T] na base canônica é ortogonal , então |det([T])|=1.

Considere a função definida por:

(Observe que é a transformação que deriva o polinômio)

Mostre que é uma transformação linear

Seja uma transformação linear tal que e . Pode-se afirmar que:

NÃO existe tal transformação linear.

Existem infinitas transformações assim.

Considere a matriz

e a transformação linear cuja matriz na base canônica é M.

(b) Determine as coordenadas na base canônica do vetor v que verifica

Escolha exatamente três das afirmações abaixo e verifique se cada uma delas é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.

(a) Seja dada por Então T é uma transformação linear.

À questão “Seja a transformação linear definida por e . Encontre a matriz de associada a base canônica de ”, Joãozinho respondeu:

Escreva a definição de transformação linear.

Considere a transformação linear dada por

E denote e .

Mostre que para todo , o conjunto é .

Seja a transformação linear tal que e . Temos que é igual a:

Escolha uma opção:

Seja uma transformação linear tal que

Qual o valor de ?

Descreva as condições que uma transformação deve satisfazer para ser considerada uma transformação linear.

Verifique se a transformação dada pela fórmula é uma transformação linear.

Verifique se é linear a transformação tal que , onde é a matriz transposta de .

Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas. Para denote sua transposta, ou seja, se , então

Considere a aplicação dada por

(a) Mostre que é uma transformação linear.

Seja a matriz uma matriz e

Se é linearmente independente, então é linearmente independente

Se é linearmente independente, então é linearmente independente

a) é falsa e é verdadeira

b) Ambas são falsas

c) é verdadeira e é falsa

d) Ambas são verdadeiras

Seja uma transformação linear. Qual das alternativas abaixo é possível?

(a) e

(b) e

(c) e

(d) e

Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas de duas linhas e duas colunas.

Considere a aplicaçãodada por

a) Mostre que T é uma transformação linear.

Assinale a aplicação que NÃO é linear:

, onde é a projeção ortogonal dos vetores do no plano , seguida de rotação de em torno do eixo

, onde

, onde: e é um polinômio de grau .

, onde:

Seja a transformação linear definida por

, para toda , em que denota a transposta da matriz . Assinale a alternativa

correta:

(a) é diagonalizável e é um autovalor de com multiplicidade geométrica igual a

(b) é diagonalizável e é um autovalor de com multiplicidade algébrica igual a

(c) é diagonalizável e os autovalores de são e

(d) não é diagonalizável e os autovalores de são e

(e) não é diagonalizável e é um autovalor de com multiplicidade algébrica igual

a

Seja a transformação linear tal que

em que denota a base canônica de e denota a base canônica de .Temos que é injetora se, e somente se:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Seja a transformação linear .

a) Determine bases para e .

b) é um isomorfismo? Justifique.

Seja A uma matriz tal que:

e:

Então vale:

(a)

(b)

(c)

(d)

11) Seja a transformação linear tal que:

e

Temos que é igual a:

a)

b)

c)

d)

e) .

Seja a transformação linear que realiza uma reflexão em relação ao plano seguida de uma rotação de ângulo no sentido anti-horário em torno do eixo

a) Determine a matriz canônica de

A transformação linear leva em e em . Determine não nulo tal que . Essa transformação pode ser sobrejetora?

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas.

a) Se é uma transformação linear e é um conjunto linearmente dependente de , então é um conjunto linearmente dependente em

Seja a transformação linear que realiza uma reflexão em relação ao plano seguida de uma rotação de ângulo no sentido anti-horário em torno do eixo

b) Utilize a matriz encontrada no item (a), para determinar , onde é um vetor genérico de

Q14. Considere as bases e de e de , respectivamente. Se for a transformação linear tal que

Então será igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Q10. Seja uma base de e considere a base de dada por:

Se for a transformação linear tal que

Então será igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Dê um exemplo, se possível, de uma transformação linear cujo núcleo é o conjunto das matrizes 2x2 simétricas, da forma .

Seja T uma transformação linear tal que e . A matriz associada a T é:

(a)

(b)

(c)

(d)

03) Considere a base de dada por: