Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 3
Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição x² + y² = 1 e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos.
Passo 1
Essa é moleza! Vamos escrever essa equação na notação matricial que é a forma:
Onde temos:
Onde :
Sem desespero que eu vou explicar da onde eu tirei esse ! Os termos da diagonal principal da matriz são os próprios coeficientes de e de , ou seja, os valores que multiplicam esses dois termos! Beleza, a gente tem multiplicando um e multiplicando um .
Já os termos que não estão na diagonal principal da matriz são a metade dos coeficientes do termo misto , mas a gente nem tem na nossa equação então a gente só coloca que é 0 e segue o baile!
Passo 2
Agora vamos continuar, galera! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz A e ele é dado por:
Agora é só calcular isso e sucesso né? Claro que não!!! Não sei você mas eu to com preguiça, então bora aproveitar que é uma matriz diagonal e nesse caso os autovalores são os termos da diagonal! Pronto:
Passo 3
Agora, precisamos calcular os autovalores, como temos uma matriz diagonal esse sai fácil também, é só você lembrar que sempre (sempre mesmo, promessa do dedinho) o autovetor associado ao primeiro termo de uma matriz diagonal (ou seja, no nosso caso, associado a ) é:
E o autovetor associado ao segundo vetor é dado por é:
Passo 4
Parabéns, chegamos ao fim!!!! Organizando as ideias temos que o nossoMáximo condicionado é (nosso maior autovalor) e ocorre quando Mínimo condicionado é (nosso menor autovalor) e ocorre quando
Resposta
Mais uma questão derrotada pra conta:
Máximo condicionado é e ocorre quando (x, y) = (1, 0)Mínimo condicionado é e ocorre quando (x,y) = (0, 1)