Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição x² + y² = 1 e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos.

3 x ²   +   7 y ²

Passo 1

Essa é moleza! Vamos escrever essa equação na notação matricial que é a forma:

x T A x

Onde temos:

x = x 1   x 2

Onde A :

A = 3 0 0 7

Sem desespero que eu vou explicar da onde eu tirei esse A ! Os termos da diagonal principal da matriz A são os próprios coeficientes de x 2 e de y 2 , ou seja, os valores que multiplicam esses dois termos! Beleza, a gente tem x 2 multiplicando um 3 e y 2 multiplicando um 7 .

Já os termos que não estão na diagonal principal da matriz A são a metade dos coeficientes do termo misto x y , mas a gente nem tem x y na nossa equação então a gente só coloca que é 0 e segue o baile!

Passo 2

Agora vamos continuar, galera! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz A e ele é dado por:

d e t   λ I - A = 0  

Agora é só calcular isso e sucesso né? Claro que não!!! Não sei você mas eu to com preguiça, então bora aproveitar que é uma matriz diagonal e nesse caso os autovalores são os termos da diagonal! Pronto:

λ 1 = 3

λ 2 =   7

Passo 3

Agora, precisamos calcular os autovalores, como temos uma matriz diagonal esse sai fácil também, é só você lembrar que sempre (sempre mesmo, promessa do dedinho) o autovetor associado ao primeiro termo de uma matriz diagonal (ou seja, no nosso caso, associado a a 11   =   λ 1 = 3 ) é:

0 1 E o autovetor associado ao segundo vetor é dado por é:

1 0

Passo 4

Parabéns, chegamos ao fim!!!! Organizando as ideias temos que o nossoMáximo condicionado é 7 (nosso maior autovalor) e ocorre quando ( x ,   y )   =   ( 1 ,   0 ) Mínimo condicionado é 3 (nosso menor autovalor) e ocorre quando ( x , y )   =   ( 0 ,   1 )

Resposta

Mais uma questão derrotada pra conta:

Máximo condicionado é 7 e ocorre quando (x, y) = (1, 0)Mínimo condicionado é 3 e ocorre quando (x,y) = (0, 1)

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