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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 28

Use o produto vetorial para encontrar o seno do ângulo entre os vetores u = 2 ,   3 ,   - 6 e

v = 2 ,   3 ,   6 .

Passo 1

Nessa questão, vamos usar a equação s e n θ = u × v u v  

Com essa equação, vemos os dois passos necessários para resolver a questão. Achar u × v e depois u v .

Passo 2

Encontrando u × v .

u × v = i ^ j ^ k ^ 2 3 - 6 2 3 6

u × v = i ^ 3 - 6 3 6 - j ^ 2 - 6 2 6 + k ^ 2 3 2 3

u × v = i ^ 18 - ( - 18 ) - j ^ 12 - ( - 12 ) + k ^ 6 - 6

u × v = i ^ 36 - j ^ 24 + k ^ 0

u × v = 36 ,   24 ,   0

Calculando o módulo desse vetor, temos:

u × v = 36 2 + 24 2 + 0 2

u × v = 1872

Passo 3

Agora, temos que achar os módulos dos vetores u   e v .

u = 2 2 + 3 2 + - 6 2 v = 2 2 + 3 2 + 6 2

u = 49 v = 49

u = 7 v = 7

Agora, resta achar o produto entre o módulo desses vetores

u v = 7 × 7

u v = 49

Passo 4

Pegando os fatores que calculamos, vamos jogar na equação

s e n θ = u × v u v

Como u × v = 1872 e u v = 49

s e n θ = 1872 49

Resposta

s e n θ = 1872 49

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Dados os vetores vec a = ( 1 , 2 , 1 ) e vec b = ( 2 , 1 , 0 ) , calcular:a) 2 vec a xx ( vec a + vec b )
Dados os vetores vec u = (2 , - 1 , 1) , vec v = ( 1 , - 1 , 0 ) e vec w = ( - 1 , 2 , 2 ) , calcular:d) ( 2 vec u ) xx ( 3 vec v )
Determinar o valor de m para que o vetor w → = ( 1 ,2 ,m ) seja simultaneamente ortogonal aos vetores v 1 → = ( 2 ,- 1 ,0 ) e v 2 → = ( 1 ,- 3 ,- 1 ) .
Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2 a → + b → e b → - a → , sendo a → = ( 3 ,- 1 ,- 2 ) e b → = ( 1 ,0 ,- 3 ) .
Dados os vetores vec u = (2 , - 1 , 1) , vec v = ( 1 , - 1 , 0 ) e vec w = ( - 1 , 2 , 2 ) , calcular:f) (vec u xx vec v) . vec w e vec u . ( vec v xx vec w )