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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 8

Qual é a equação da parábola cujo foco é o ponto F = 1,2 e cuja diretriz é a reta x + 2 y = − 5 ?

Passo 1

Oiiiii gente! Bom pra essa questão precisamos lembrar de um detalhe sobre as parábolas: A distância entre qualquer ponto da parábola e o foco é igual a distância entre esses respectivos pontos da parábola até a reta diretriz. E aí matou a charada? Vamos prosseguir

Passo 2

Bom, agora vamos colocar essa ideia em prática. Dado um ponto geral da parábola x , y e usando a fórmula da distância entre dois pontos, temos que a distância entre o foco e a parábola é :

d 1 = x − 1 ² + y − 2 ²

Passo 3

Agora, utilizando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta:

d = a ⋅ x 0 + b ⋅ y 0 + c a ² + b ²

Substituindo com os valores da nossa questão, temos:

d 2 = 1 ⋅ x + 2 ⋅ y + 5 1 ² + 2 ² = x + 2 y + 5 5

Como vimos anteriormente que d 1 = d 2 , logo:

x − 1 ² + y − 2 ² = x + 2 y + 5 5

x − 1 ² + y − 2 ² ² = x + 2 y + 5 5 ²

x ² − 2 x + 1 + y ² − 4 y + 4 = x + 2 y + 5 ⋅ x + 2 y + 5 5

x ² − 2 x + 1 + y ² − 4 y + 4 = x ² + 4 x y + 10 x + 4 y ² + 20 y + 25 5

5 x ² − 10 x + 5 + 5 y ² − 20 y + 20 = x ² + 4 x y + 10 x + 4 y ² + 20 y + 25

4 x ² − 4 y + 20 x + y ² − 40 y = 0

Tudo ok? Pois bora fazer mais questões

Bons Estudos!

Resposta

4 x ² − 4 y + 20 x + y ² − 40 y = 0

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Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.22) foco: F ( 4 ,- 5 ) ; diretriz d : y = 1
Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.20) vértice: V ( 4 ,1 ) ; diretriz d : y + 3 = 0
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Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.25) vértice: V ( 4 ,- 3 ) ; eixo paralelo ao eixo dos x , passando pelo ponto P ( 2 ,1 )