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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 11

Ache as equações das retas que passam pelo ponto (2, 5) e são tangentes à circunferência de centro O e raio 3.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Vamos começar determinando a equação da reta que passa pelo ponto P = (2,5), através da equação:

y - y P = m x - x p

y - 5 = m x - 2

m x - y - 2 m + 5 = 0

Agora nos falta determinar o coeficiente angular m dessa reta tangente.

Para isso vamos usar o fato de que se a reta tangencia a circunferência então a sua distância até o centro da circunferência (0,0) é igual ao raio (r=3). Logo,

d r , P = | m . 0 - 1.0 - 2 m + 5 | m 2 + - 1 2 = 3

| - 2 m + 5 | m 2 + 1 = 3

| - 2 m + 5 | = 3 m 2 + 1

Elevando ambos lados ao quadrado, temos:

- 2 m + 5 2 = 3 m 2 + 1 2

4 m 2 - 20 m + 25 = 9 m 2 + 1

5 m 2 + 20 m - 16 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos:

m = 6 5 - 2       o u     m = - 6 5 - 2  

Substituindo cada um desses valores encontraremos as duas equações da reta tangente.

Para m = 6 5 - 2 , temos:

6 5 - 2 x - y - 2 6 5 - 2 + 5 = 0

Ou ainda,

6 5 - 10 5 x - y - 12 5 - 45 5 = 0

Para m = - 6 5 - 2 , temos:

- 6 5 - 2 x - y - 2 - 6 5 - 2 + 5 = 0

Ou ainda,

- 6 5 + 10 5 x - y + 12 5 + 45 5 = 0

Resposta

6 5 - 10 5 x - y - 12 5 - 45 5 = 0 e - 6 5 + 10 5 x - y + 12 5 + 45 5 = 0

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Calcule a distância do ponto P à reta r .a) P = (0 , - 1 , 0) , r : x = 2 y - 3 = 2 z - 1
Verifique para quais pontos X da reta r a área do triângulo A B X é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.d) A = 3 ,2 ,1B = 0 ,1 ,2r : x = 2 y - z = y - 2 z + 3
Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t :a) r : x - 1 = 2 y = zs : x = y = 0 t : x - 2 = z = 0
Verifique para quais pontos X da reta r a área do triângulo A B X é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.b) A = 1 ,0 ,3B = 2 ,1 ,2r : 2 x - y + z = 0 = x + z - 1
Obtenha uma equação vetorial da reta r contida no plano π : y = z , sabendo que a medida angular entre r e s : X = 1 ,1 ,2 + λ ( 1 ,- 1 ,0 ) é 60 ° e que r dista 1 do ponto P = ( 1 ,0 ,0 ) .