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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 19

Nos exercicios 19-21, prove que o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial.

19 O conjunto V = 0 com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas no Exemplo 1.

Passo 1

As operações definidas são as seguintes:

0 + 0 = 0

e

a 0 = 0

Com escalares a quaisquer.

Passo 2

Agora vamos conferir os Axiomas 1 e 6. Se eles valerem, vamos conferir os outros axiomas que ficaram faltando.

Seja u ,   v ∈ V e a ∈ R , então

Axioma 1:

u + v = 0 + 0 = 0 ∈ V

Axioma 6:

a u = a ⋅ 0 = 0 ∈ V

E é só isso ai, a gente acabou de verificar os axiomas 1 e 6. Agora vamos para os outros.

Passo 3

Axioma 2:

Seja u ,   v ∈ V , então:

u + v = 0 + 0 = v + u

Axioma 3:

Seja u ,   v ,   w ∈ V , então:

u + v + w = 0 + 0 + 0 = 0 + 0 + 0 = u + v + w

Axioma 4:

Seja u ∈ V , então:

u + 0 = 0 + 0 = 0 + u = u

Axioma 5:

Seja u ∈ V , então:

0 + - 0 = - 0 + 0 = 0

Axioma 7:

Seja u ,   v ∈ V e a ∈ R , então:

a u + v = a 0 + 0

a u + v = a ⋅ 0

a u + v = 0

a u + v = 0 + 0

a u + v = a ⋅ 0 + a ⋅ 0

a u + v = a ⋅ u + a ⋅ v

Axioma 8:

Seja u ∈ V e a , b ∈ R , então:

a + b ⋅ 0 = 0

a + b ⋅ 0 = 0 + 0

a + b ⋅ 0 = a ⋅ 0 + b ⋅ 0

Axioma 9:

Seja u ∈ V e a , b ∈ R , então:

a b u = a b ⋅ 0

a b u = a ⋅ 0

a b u = 0

a b u = a b 0

a b u = a b u

Axioma 10:

Seja u ∈ V , então:

1 u = 1 ⋅ 0 = 0 = u

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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