25 O argumento a seguir prova em sete passos a parte b do Teorema 4.1.1. Justifique cada passo afirmando que é verdadeiro por hipótese ou especificando qual dos dez axiomas do espaço vetorial é aplicável.

Vamos falar de cada passo então:

(1)

Podemos verificar eu isso é verdade pelo Axioma 8.

(2)

Para chegar aqui, foi usado o axioma 4, que diz que quando somamos o vetor nulo com outro vetor qualquer obtemos esse próprio vetor.

(3)

Como está em , está em .

Esse é o axioma 5, que diz que para qualquer vetor sempre vai existir um outro vetor negetivo.

(4)

Portando,

Isso é verdadeiro por hipótese, nós só somamos dos dois lados da equação que encontramos no passo 2.

(5)

Para dar esse passo só foi preciso utilizar o axioma 3.

(6)

Aqui foi usado o axioma 5.

(7)

E por fim utilizamos o axioma 4 para chegar na conclusão que queríamos.