Exercícios de Espaços Vetoriais - Lista de Exercícios Resolvida

Sobre os conjuntos:

E sabendo que é munido das operações:

1. Se , então
2. é um espaço vetorial

É correto afirmar sobre as afirmações acima que:

I e II são verdadeiras

I é verdadeira e II é falsa

I e II são falsas

I é falsa e II é verdadeira

Dado o espaço vetorial , foram definidas operações de soma e multiplicação por escalar, respectivamente:

Dentre as opções abaixo, marque a alternativa verdadeira:

O elemento neutro da soma é o vetor

O espaço vetorial não possui inverso aditivo

O elemento neutro da soma é

O elemento neutro da multiplicação é , pois

O elemento neutro para soma do espaço vetorial das funções reais é o(a):

Número zero

Função identidade

Função identicamente nula

Conjunto vazio

Considere o espaço vetorial munido do produto interno definido por:

Se são tais que é o elemento de mais próximo de , então é igual a:

Seja um espaço vetorial real de dimensão munido de um produto interno e seja uma base ortonormal de . Considere o subespaço vetorial de dado por

e seja . Temos que a projeção ortogonal de em é igual a:

Seja

Assinale a alternativa correta:

(a) nem e nem são diagonalizáveis sobre os complexos e é diagonalizável sobre os complexos, mas não sobre ;

(b) é diagonalizável sobre e são diagonalizáveis sobre os complexos , mas

nem e nem são diagonalizáveis sobre ;

(c) são diagonalizáveis sobre R;

(d) são diagonalizáveis sobre e é diagonalizável sobre os complexos, mas não sobre ;

(e) são diagonalizáveis sobre os complexos, mas nenhuma delas é diagonalizável sobre .

Seja um espaço vetorial real de dimensão munido de um produto interno e sejam bases ortonormais de . Considere as seguintes afirmações:

(I) não é uma linha da matriz;

(II) as matrizes e possuem o mesmo determinante;

(III) se for um operador linear tal que a matriz seja simétrica, então a matriz também será simétrica.

Assinale a alternativa correta:

(a) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;

(b) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;

(c) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;

(d) todas afirmações são necessariamente verdadeiras;

(e) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira.

Seja uma matriz real. Suponha que sejam raízes do polinômio característico de e que

em que denota o operador linear que é representado por na base canónica de . Assinale a alternativa correspondente a uma base do espaço das soluções reais do sistema de equações diferenciais

Seja o espaço vetorial de todas as funções deriváveis tais que a derivada seja contínua e . Considere munido do produto interno definido por

Para quaisquer Seja o subespaço vetorial de gerado por

Assinale a alternativa correspondente a uma base ortonormal de .

Considere o espaço vetorial munido do seu produto interno usual e os vetores:

, , e .

Aplicando-se o processo de ortogonalização de Gram–Schmidt ao conjunto , obtemos o conjunto ortogonal . Temos que a soma das coordenadas do vetor é igual a:

Seja um espaço vetorial munido de um produto interno e seja um

subconjunto linearmente independente de com elementos tal que

para todo . Assinale a alternativa correta:

(a) é uma base ortonormal de .

(b) é uma base ortogonal de , mas pode não ser uma base ortonormal de .

(c) pode não gerar .

(d) pode ter dimensão infinita.

(e) O conjunto pode não ser ortogonal.

Considere o espaço vetorial munido de seu produto interno usual e sejam:

Se são tais que é igual à projeção ortogonal de sobre o

o subespaço , então é igual a:

Considere o subespaço

do espa ̧co vetorial . Suponha munido de seu produto interno usual e sejam tais que

Temos que é igual a:

Considere o conjunto de matrizes da forma , com as seguintes operações de soma e multiplicação por escalar:

e

Assinale a alternativa FALSA:

A soma de dois elementos de está em .

vale para todo .

Todo elemento de possui inverso aditivo (negativo).

é um espaço vetorial.

Indique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.

(a) com as operações de soma e multiplicação por escalar abaixo não é espaço vetorial.

Seja o conjunto dos pares ordenados de números reais munido da soma usual. Considere as seguintes operações de produto por um escalar :

Quais das opções abaixo é verdadeira?

não é um espaço vetorial.

não é um espaço vetorial.

o produto é distributivo com relação à soma de escalares.

o produto não é distributivo com relação à soma vetorial.

Assinale a alternativa em que não é um subespaço do espaço vetorial :

Escolha uma opção:

1. ;
2. é o espaço das funções contínuas de em e é o conjunto das funções tais que ;
3. é o espaço das funções deriváveis de em e é o conjunto das funções tais que , para ;
4. e ;
5. é o espaço de todas as funções de em e é o conjunto das funções tais que , para todo .

Considere as seguintes afirmações:

(I) se V for um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno e e forem subespaços vetoriais de tais que , então a desigualdade

será válida para qualquer , em que denota a norma correspondente ao produto interno

(II) se for um inteiro positivo e for uma matriz diagonalizável, então o conjunto das soluções reais do sistema de equações diferenciais

será um subespaço vetorial de dimensão do espaço vetorial de todas as funções

(III) se denotar a base canônica de e se forem as coordenadas na base de um elemento do conjunto

então valerá que

(a) apenas as afirmações(I) e (II) são verdadeiras;

(b) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras;

(c) todas as afirmações são verdadeiras;

(d) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;

(e) todas as afirmações são falsas.

Considere as seguintes afirmações:

(I) se for um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno, for um operador linear e existir uma base ortonormal de tal que a matriz seja diagonal, então o

operador será simétrico;

(II) para qualquer inteiro positivo n e qualquer matriz , se as colunas de formarem uma base ortonormal de com respeito ao produto interno usual, então será igual à matriz identidade, em que denota a transposta da matriz ;

(III) se for um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno e se forem bases ortonormais de , então a matriz será simétrica.

Assinale a alternativa correta:

(a) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;

(b) todas as afirmações são verdadeiras;

(c) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;

(d) apenas a afirmação (III) é verdadeira;

(e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

Sejam , tais que e Temos que é igual a:

Q3. Considere o espaço vetorial munido do seu produto interno usual e as bases

e

De . Se e são os operadores lineares tais que

e ,

Então:

a) é simétrico e não é simétrico;

b) e são ambos simétricos e têm polinômios característicos diferentes;

c) não é simétrico e é simétrico;

d) e são ambos simétricos e têm o mesmo polinômio característico;

e) nem nem são simétricos.

Q9. Considere o espaço vetorial munido do seu produto interno usual e seja um operador linear simétrico cujo polinômio característico é . Se

, e ,

Então é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Q4. Denote por o operador identidade de e seja o operador linear tal que:

e .

Temos que é igual a:

a)

b)

c)

d)

e) .

Q12. Considere o espaço vetorial munido do seu produto interno usual e seja o operador linear simétrico cujos autovalores são 1 e -2 e que satisfaz

Em que denota o operador identidade de . Se , então é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Q13. O polinômio característico da matriz

É . Temos que a solução do sistema de equações diferenciais satisfazendo a condição é dada por:

1. ;
2. ;

Q10. Sejam um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno e um operador linear. Suponha que exista uma base de tal que a matriz seja simétrica. Considere as seguintes afirmações:

(i) o operador é simétrico;

(ii) o operador é diagonalizável;

(iii) existe uma base ortonormal de formada por autovetores de .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras;

b) apenas a afirmação (i) é necessariamente verdadeira;

c) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

d) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;

e) apenas as afirmações (ii) e (iii) são necessariamente verdadeiras.

Q14. Sejam e seja o operador linear tal que

Em que can denota a base canônica de . Temos que o subespaço

É invariante por se, e somente se:

a) e

b) e

c) e

d) e

e) e

Q11. Sejam um espaço vetorial complexo de dimensão finita e um operador linear. Considere as seguintes afirmações:

(i) se existir uma base de tal que a matriz seja real, então o polinômio característico de terá coeficientes reais;

(ii) se existirem tais que e o polinômio característico de seja então será diagonalizável;

(iii) se for um autovalor de , então também será um autovalor de .

Assinale a alternativa correta:

a) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

b) apenas as afirmações (i) e (iii) são necessariamente verdadeiras;

c) apenas a afirmação (ii) é necessariamente verdadeira;

d) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras;

e) apenas a afirmação (i) é necessariamente verdadeira.

Q1. Sejam um espaço vetorial real de dimensão 3 munido de um produto interno e uma base de tal que:

e .

Se for a base ortogonal de obtida de pela aplicação do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, então será igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

Q11. Seja uma matriz cujos únicos autovalores reais sejam 1 e 3. Pode-se afirmar que:

a) é simétrica;

b) é diagonalizável sobre ;

c) o polinômio característico de é

d) a soma das entradas na diagonal principal de é igual a 4;

e) é inversível.

Q15. Considere o espaço vetorial munido do seu produto interno usual e seja o subespaço de definido por:

e .

Assinale a alternativa correspondente a uma base de :

a)

b)

c)

d)

e)

Q3. Sejam um espaço vetorial de dimensão finita munido de um produto interno, uma base de , um operador linear e . Assinale a alternativa correta:

a) se for simétrico e for ortonormal, então será diagonal;