Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 4
Nos Exercícios , encontre uma decomposição em valores singulares reduzida de A. [Observação: cada matriz aparece no Conjunto de exercícios , onde foi pedida a decomposição em valores singulares não reduzida.]
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Temos que encontrar a decomposição reduzida do valor singular da matriz fornecida. Para isso temos que calcular :
Os auto valores de são:
Com os autovetores correspondentes:
e
Como esses vetores são ortogonais, nós normalizamos para obter:
Passo 2
Os valores singulares de são:
Temos então que:
Passo 3
Agora, para encontrar , temos que calcular:
Temos também que:
O vetor deve ser a solução do sistema linear homogêneo:
Passo 4
A partir disso, obtemos as equações . Resolvendo essas equações, obtemos a solução geral:
Normalizando esse vetor, temos:
Esses vetores já formam uma base ortonormal para portanto:
Portanto, a decomposição do valor singular de é:
Passo 5
Sabemos que a decomposição de valor singular reduzido de uma matriz é:
Portanto, a decomposição do valor singular da matriz fornecida é: