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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 7

Nos Exercícios 5 – 8 , encontre uma expansão em valores singulares reduzida de A.

A matriz A do Exercício 3 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que:

A = 1 1 - 1       0 1 1

Temos que encontrar a expansão reduzida do valor singular da matriz fornecida. Primeiro calculamos a decomposição do valor singular da matriz fornecida. Para isso temos que calcular A T A :

A T A = 1 0       1 1       - 1 1 1 1 - 1       0 1 1

A T A = 3 0       0 2

Os auto valores de A T A são:

λ 1 = 3

λ 2 = 2

Como esses vetores são ortogonais, nós normalizamos para obter:

v 1 = 1 0

v 2 = 0 1

Passo 2

Os valores singulares de A são:

σ 1 = λ 1 = 3

σ 2 = λ 2 = 2

Temos então que:

V = 1 0       0 1

Passo 3

Agora, para encontrar U , temos que calcular:

u 1 = 1 σ 1 A v 1

u 1 = 1 3 1 1 - 1       0 1 1 1 0

3 u 1 = 1 1 - 1

Temos também que:

u 2 = 1 σ 2 A v 2

u 2 = 1 2 1 1 - 1       0 1 1 0 1

2 u 2 = 0 1 1

Temos também o vetor normalizado:

u 3 = 2 6 - 1 6 1 6

Passo 4

Esses vetores já formam uma base ortonormal para R 3 portanto:

U = 1 3 1 3 - 1 3       0 1 2 1 2       2 6 - 1 6 1 6

Portanto, a decomposição do valor singular de A é:

A = U ∑ V T

A = 1 3 1 3 - 1 3       0 1 2 1 2       2 6 - 1 6 1 6 3 0 0       0 2 0 1 0       0 1

Passo 5

Sabemos que a expansão de valor singular reduzido de uma matriz é:

A = u 1 σ 1 v 1 T + u 2 σ 2 v 2 T

Portanto, a expansão do valor singular da matriz fornecida é:

A = 3 1 3 1 3 - 1 3 1       0 + 2     0 1 2 1 2 0       1

Resposta

A = 3 1 3 1 3 - 1 3 1       0 + 2     0 1 2 1 2 0       1

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