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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 1

1. Explique por que o conjunto de vetores dados é linearmente independente. (Resolva o problema inspecionando o conjunto.)

(a)   u 1 → = ( - 1,2 , 4 ) e u 2 → = ( 5 , - 10 , - 20 ) em R 3

(b)   u 1 → = ( 3 , - 1 ) , u 2 → = ( 4 , 5 ) , u 3 → = ( - 4 , 7 ) em R 2

(c) p 1 = 3 - 2 x + x 2 e p 2 = 6 - 4 x + 2 x 2 em P 2

(d) A = - 3 4       2 0 e B =       3 - 4 - 2       0 em M 22

Passo 1

Para resolvermos nosso problema, vamos analisar cada alternativa sem fazer muitas contas, pois a questão pede para resolver inspecionando o conjunto.

(a)   u 1 → = ( - 1,2 , 4 ) e u 2 → = ( 5 , - 10 , - 20 ) em R 3

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, S = {   u 1 → , u 2 →   } , logo podemos observar que:

u 2 → = - 5   u 1 → = ( 5 , - 10 , - 20 )

Assim, podemos concluir que u 2 → pode ser expresso como combinação linear de u 1 → . Logo o conjunto S é um conjunto linearmente dependente, pois u 2 → é um múltiplo escalar de u 1 → .

Passo 2

(b)   u 1 → = ( 3 , - 1 ) , u 2 → = ( 4,5 ) , u 3 → = ( - 4,7 ) em R 2

Nesse caso podemos resolver de maneira bem rápida utilizando o Teorema 4.3.3, que diz:

Seja S = { v 1 → , v 2 → , … , v r → } um conjunto de vetores em R n . Se r > n , então S é linearmente dependente.

Analisando a questão, observe que temos três vetores, no espaço R 2 , logo r = 3 e n = 2 . Como r > n , podemos concluir que o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

(c) p 1 = 3 - 2 x + x 2 e p 2 = 6 - 4 x + 2 x 2 em P 2

Aqui faremos basicamente a mesma analise que no passo 1, veja só:

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, S = { p 1   , p 2   } , logo podemos observar que:

p 2   = 2   p 1 = 6 - 4 x + 2 x 2  

Assim, podemos concluir que p 2 pode ser expresso como combinação linear de p 1 . Logo o conjunto S é um conjunto linearmente dependente, pois p 2 é um múltiplo escalar de   p 1 .

Passo 4

(d) A = - 3 4       2 0 e B =       3 - 4 - 2       0

Vamos usar o mesmo fato do caso anterior, logo:

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, S = { A   , B   } , logo podemos observar que:

B = - 1 A =       3 - 4 - 2       0

Assim, podemos concluir que B pode ser expresso como combinação linear de A . Logo o conjunto S é um conjunto linearmente dependente, pois B é um múltiplo escalar de A .

Resposta

(a) u 2 → é um múltiplo escalar de u 1 → .

(b) Os vetores são linearmente dependentes pelo teorema 4.3.3

(c) p 2 é um múltiplo escalar de   p 1 .

(d) B é um múltiplo escalar de A .

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