Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 6

6. Suponha que   v 1 → , v 2 → e v 3 → sejam vetores em R 3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os vetores estão num mesmo plano.

(a) v 1 → = - 1 ,   2 ,   3 ,   v 2 → = 2 , - 4 , - 6 ,   v 3 → = ( - 3 ,   6 ,   0 )

(b) v 1 → = 2 ,   - 1 ,   4 ,   v 2 → = 4 ,   2 ,   3 ,   v 3 → = ( 2 ,   7 , - 6 )

(c)   v 1 → = 4 ,   6 ,   8 ,   v 2 → = 2 ,   3 ,   4 ,   v 3 → = ( - 2 ,   - 3 , - 4 )

Passo 1

Para sabermos se um vetor está no mesmo plano, ou seja coplanares, basta calcular o determinante da matriz onde suas linhas são formadas pelas componentes de cada vetor, e analisar seu resultado, se det ⁡ A = 0 , os vetores são coplanares, veja só:

(a) v 1 → = - 1 ,   2 ,   3 ,   v 2 → = 2 , - 4 , - 6 ,   v 3 → = ( - 3 ,   6 ,   0 )

A = - 1       2       3       2 - 4 - 6 - 3       6       0

Vamos calcular o determinante dessa matriz usando expansão de cofatores ao longo da terceira linha:

det ⁡ A = a 3 1 C 3 1 + a 3 2 C 3 2 + a 3 3 C 3 3 = - 3 C 31 + 6 C 32 + 0 C 33

det ⁡ A = - 3 C 31 + 6 C 32

Calculando os cofatores:

C 3 1 = - 1 3 + 1   M 3 1 = 1 ×       2       3 - 4 - 6 = 2 × - 6 - 3 × - 4 = - 12 - ( - 12 ) = 0

C 3 2 = - 1 3 + 2   M 3 2 = - 1 × - 1       3       2 - 6 = - - 1 × - 6 - 3 × 2 = - 6 - 6 = 0

Logo:

det ⁡ A = - 3 C 31 + 6 C 32

det ⁡ A = - 3 ⋅ 0 + 6 ⋅ 0 = 0 + 0 = 0

Logo como det ⁡ A = 0 , os vetores são coplanares.

Passo 2

Vamos fazer o mesmo procedimentos para os seguintes vetores:

(b) v 1 → = 2 ,   - 1 ,   4 ,   v 2 → = 4 ,   2 ,   3 ,   v 3 → = ( 2 ,   7 , - 6 )

A = 2 - 1       4 4       2       3 2       7 - 6

Vamos calcular o determinante dessa matriz usando expansão de cofatores ao longo da primeira linha:

det ⁡ A = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = 2 C 11 - 1 C 12 + 4 C 13

Calculando os cofatores:

C 11 = - 1 1 + 1   M 11 = 1 × 2       3 7 - 6 = 2 × - 6 - 7 × 3 = - 12 - 21 = - 33

C 12 = - 1 1 + 2   M 12 = - 1 × 4       3 2 - 6 = - 4 × - 6 - 3 × 2 = - - 24 - 6 = 30

C 13 = - 1 1 + 3   M 13 = 1 × 4 2 2 7 = 4 × 7 - 2 × 2 = 28 - 4 = 24

Logo:

det ⁡ A = 2 C 11 - 1 C 12 + 4 C 13

det ⁡ A = 2 - 33 - 1 ⋅ 30 + 4 ⋅ 24 = - 66 - 3 0 + 96 = 0

Logo como det ⁡ A = 0 , os vetores são coplanares.

Passo 3

Vamos fazer o mesmo procedimentos para os seguintes vetores:

(c)   v 1 → = 4 ,   6 ,   8 ,   v 2 → = 2 ,   3 ,   4 ,   v 3 → = ( - 2 ,   - 3 , - 4 )

A =     4       6       8       2       3       4 - 2 - 3 - 4

Podemos resolver o determinante dessa matriz por eliminação Gaussiana, observe:

    4       6       8       2       3       4 - 2 - 3 - 4

L 2 ← L 2 - 1 2 L 1

    4       6       8       0       0       0 - 2 - 3 - 4

Por propriedades de determinantes, como temos uma linha nula, o det ⁡ A = 0

Logo como det ⁡ A = 0 , os vetores são coplanares.

Resposta

Os vetores são coplanares para todas as alternativas.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

4. Quais dos seguintes conjuntos de vetores em P 2 são linearmente dependentes?(a) 2 - x + 4 x 2 ,3 + 6 x + 2 x 2,2 + 10 x - 4 x 2 (b) 3 + x + x 2 , 2 - x + 5 x 2 , 4 - 3 x 2 (c) 6 - x 2 ,1 + x + 4 x
23. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o wronskiano para mostrar que o conjunto de vetores dado é linearmente independente.(a) 1 ,x ,e x (b) 1 ,x ,x 2
21. As funções f 1 x = x e f 2 x = cos ⁡ x são linearmente independentes em F ( - ∞ , ∞ ) porque nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra. Confirme a independência linear usando o teste do wron
5. Suponha que v 1 → , v 2 → e v 3 → sejam vetores em R 3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os vetores estão num mesmo plano.(a) v 1 → = 2 ,- 2 ,0 ,v 2 → = 6,1 , 4 ,v 3 → = (
7. (a) Mostre que os três vetores v 1 → = 0 ,3 ,1 ,- 1 ,v 2 → = 6 ,0 ,5 ,1 ,v 3 → = ( 4 ,- 7 ,1 ,3 ) formam um conjunto linearmente dependente em R 4 .(b) Expresse cada vetor da parte (a) como uma com