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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 9

9. Os vetores dados formam um conjunto linearmente dependente em R 3 com quais valores reais de λ ?

v 1 → = λ   ,   - 1 2 ,   - 1 2 , v 2 → = - 1 2 ,   λ   ,   - 1 2 , v 3 → = - 1 2 ,   - 1 2 , λ

Passo 1

Para resolvermos nosso problema, vamos encontrar a solução da nossa equação vetorial

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 v 1 → + k 2 v 2 → + k 3 v 3 → = ( 0,0 , 0,0 )

k 1 λ   ,   - 1 2 ,   - 1 2 + k 2 - 1 2 ,   λ   ,   - 1 2 + k 3 - 1 2 ,   - 1 2 , λ = ( 0,0 , 0 )

λ k 1   ,   - 1 2 k 1 ,   - 1 2 k 1 + - 1 2 k 2 ,   λ k 2 ,   - 1 2 k 2 + - 1 2 k 3 ,   - 1 2 k 3 , λ k 3 = ( 0,0 , 0 )

λ k 1 - 1 2 k 2 - 1 2 k 3   , - 1 2 k 1 + λ k 2 - 1 2 k 3   , - 1 2 k 1 - 1 2 k 2 + λ k 3 = ( 0,0 , 0 )

Montando o sistema:

λ k 1 - 1 2 k 2 - 1 2 k 3 = 0 - 1 2 k 1 + λ k 2 - 1 2 k 3 = 0 - 1 2 k 1 - 1 2 k 2 + λ k 3 = 0

Reescrevendo o sistema de forma matricial:

      λ   - 1 2   - 1 2 - 1 2           λ   - 1 2 - 1 2   - 1 2         λ × k 1 k 2 k 3 = 0 0 0

Passo 2

Agora vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes e tirar uma conclusão sobre λ .

Calculando o determinante dessa matriz usando expansão de cofatores ao longo da primeira linha:

det ⁡ A =       λ   - 1 2   - 1 2 - 1 2           λ   - 1 2 - 1 2   - 1 2         λ = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 =   λ C 11 - 1 2 C 12 - 1 2 C 13

C 11 = - 1 1 + 1   M 11 = 1 ×   λ - 1 2 - 1 2       λ =   λ ×   λ - - 1 2 × - 1 2 =   λ 2 - 1 4

C 12 = - 1 1 + 2   M 12 = - 1 × - 1 2 - 1 2 - 1 2       λ = - - 1 2 ×   λ - - 1 2 × - 1 2 = - - 1 2 λ - 1 4

= 1 2 λ + 1 4

C 13 = - 1 1 + 3   M 13 = 1 × - 1 2           λ - 1 2     - 1 2 = - 1 2 × - 1 2 - λ × - 1 2 = 1 4 + 1 2 λ

Logo:

det ⁡ A = λ C 11 - 1 2 C 12 - 1 2 C 13

= λ λ 2 - 1 4 - 1 2 1 2 λ + 1 4 - 1 2 1 4 + 1 2 λ

= λ 3 - 1 4 λ - 1 4 λ - 1 8 - 1 8 - 1 4 λ = λ 3 - 3 4 λ - 2 8 = λ 3 - 3 4 λ - 1 4

= 1 4 4 λ 3 - 3 λ - 1

Passo 3

Logo para que o conjunto seja linearmente dependente o determinante tem que ser igual 0 ou seja:

1 4 4 λ 3 - 3 λ - 1 = 0

Observe que λ = 1 é solução da equação, logo podemos dividir o polinômio por λ menos uma raiz. Veja só:

4 λ 3 - 3 λ - 1 λ - 1 = 4 λ 2 + 4 λ 2 - 3 λ - 1 λ - 1

4 λ 2 - 3 λ - 1 λ - 1 = 4 λ + λ - 1 λ - 1

λ - 1 λ - 1 = 1

Resultado da divisão é: 4 λ 2 + 4 λ + 1

Agora vamos achar a outra solução de λ resolvendo a equação do segundo grau:

4 λ 2 + 4 λ + 1 = 0

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 4 ± 4 2 - 4 ⋅ 4 ⋅ 1 2 ⋅ 4 = - 4 ± 16 - 16 8

λ = - 4 ± 0 8 = - 4     8 = - 1 2

Prontinho, agora temos a nossa solução :   λ = 1 e λ = - 1 2

Conclusão:

Para λ = 1 e λ = - 1 2 o determinante da matriz de coeficientes é zero, assim os vetores formam um conjunto linearmente dependente.

Resposta

λ = 1 e λ = - 1 2

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