Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 2
2. Quais dos seguintes conjuntos de vetores em são linearmente dependentes?
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Para resolvermos nosso problema, vamos analisar cada alternativa sem fazer muitas contas, pois inspecionando cada conjunto de vetores podemos concluir algo sobre sua linearidade.
(a) em
Vamos chamar de o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:
Vai ter apenas a solução trivial:
Pois não conseguimos expressar nenhum vetor desse conjunto como combinação linear do outro. Logo o conjunto é um conjunto linearmente independente.
Passo 2
(b) em
Vamos resolver a equação vetorial para podemos chegar uma conclusão sobre o conjunto de vetores .
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, temos:
Substituindo primeira equação temos:
Substituindo e na terceira equação:
Logo podemos concluir que a equação tem apenas a solução trivial:
Pois não conseguimos expressar nenhum vetor desse conjunto como combinação linear do outro. Logo o conjunto é um conjunto linearmente independente.
Passo 3
(c)
Vamos chamar de o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:
Vai ter apenas a solução trivial:
Pois não conseguimos expressar nenhum vetor desse conjunto como combinação linear do outro. Logo o conjunto é um conjunto linearmente independente.
Passo 4
(d)
Nesse caso podemos resolver de maneira bem rápida utilizando o Teorema 4.3.3, que diz:
Seja um conjunto de vetores em . Se , então é linearmente dependente.
Analisando a questão, observe que temos quatro vetores, no espaço , logo e . Como , podemos concluir que o conjunto é linearmente dependente.
Resposta
(a) linearmente independente
(b) linearmente independente
(c) linearmente independente
(d) linearmente dependente pelo teorema 4.3.3