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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 8

8. (a) Mostre que os três vetores v 1 → = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   v 2 → = 0 ,   1 ,   0 , - 1 ,   v 3 → = ( 1 ,   3 , 3 ,   3 ) formam um conjunto linearmente dependente em R 4 .

(b) Expresse cada vetor da parte (a) como uma combinação linear dos outros dois.

Passo 1

Para resolvermos nosso problema, vamos encontrar a solução da nossa equação vetorial.

(a) v 1 → = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   v 2 → = 0 ,   1 ,   0 , - 1 ,   v 3 → = ( 1 ,   3,3 ,   3 ) em R 4

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 v 1 → + k 2 v 2 → + k 3 v 3 → = ( 0,0 , 0,0 )

k 1 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   + k 2 0 ,   1 ,   0 , - 1 + k 3 ( 1 ,   3,3 ,   3 ) = ( 0,0 , 0,0 )

k 1 ,   2 k 1 ,   3 k 1 ,   4 k 1 ,   + 0 ,   k 2 ,   0 , - k 2 + ( k 3 ,   3 k 3 , 3 k 3 ,   3 k 3 ) = ( 0,0 , 0,0 )

k 1 + k 3   ,   2 k 1 + k 2 + 3 k 3   ,   3 k 1 + 3 k 3   ,   4 k 1 - k 2 + 3 k 3 = ( 0,0 , 0,0 )

Resolvendo o sistema:

k 1 + k 3 = 0 2 k 1 + k 2 + 3 k 3 = 0 3 k 1 + 3 k 3 = 0   4 k 1 - k 2 + 3 k 3 = 0

Da primeira equação temos:

k 1 + k 3 = 0 → k 1 = - k 3

Da segunda equação temos:

2 - k 3 + k 2 + 3 k 3 = 0 → - 2 k 3 + k 2 + 3 k 3 = 0

k 2 = - k 3

Logo temos nossa solução:

k 1 = - k 3 , k 2 = - k 3 ,   k 3 = k 3

Fazendo k 3 = 1 , temos a solução:

k 1 = - 1 , k 2 = - 1 ,   k 3 = 1

Logo como existem várias soluções conseguimos expressar um vetor desse conjunto como combinação linear dos outros. Logo o conjunto S é um conjunto linearmente dependente.

Passo 2

(b)

Agora vamos substituir a nossa solução encontrada na parte (a) e escrever cada vetor como combinação linear dos outros dois.

k 1 v 1 → + k 2 v 2 → + k 3 v 3 → = ( 0,0 , 0,0 )

Para o vetor v 1 → :

- v 1 → - v 2 → + v 3 → = ( 0,0 , 0,0 )

- v 1 → = v 2 → - v 3 →

v 1 → = - v 2 → + v 3 →

Para o vetor v 2 → :

- v 1 → - v 2 → + v 3 → = ( 0,0 , 0,0 )

- v 2 → = v 1 → - v 3 →

v 2 → = - v 1 → + v 3 →

Para o vetor v 3 → :

- v 1 → - v 2 → + v 3 → = ( 0,0 , 0,0 )

v 3 → = v 1 → + v 2 →

Resposta

(a) S é um conjunto linearmente dependente

(b) v 1 → = - v 2 → + v 3 → ; v 2 → = - v 1 → + v 3 → ; v 3 → = v 1 → + v 2 →

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Prove:a) ( 2 u → + w → ,u → - v → ,v → + w → ) é LI ⇔ ( u → - w → ,u → + v → ,u → + w → ) é LI.b) ( 2 u → + w → ,u → - v → ,v → + w → ) é LD ⇔ ( u → - w → ,u → + v → ,u → + w → ) é LD.
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No tetraedro A B C D , sejam M , N e P , respectivamente, os pontos médios de B D ,C D e A C , e G o baricentro do triângulo M N P .a) Exprima B G → como combinação linear de B A → ,B C → ,B D → .
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