Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 43
Mostre que se for obtida de por meio de uma sequência de operações elementares com linhas, então existe uma segunda sequência de operações elementares com linhas aplicada a , produz .
Passo 1
Show de boletas, a gente sabe que pra uma matriz ser equivalente por linhas a outra, ela precisa através de operações elementares assumir a forma da matriz em questão, e essas operações elementares podem ser representadas por matrizes elementares.
Passo 2
Sabendo disso, suponha que nossa matriz seja
Onde é a matriz que representa todas as operações elementares que aplicamos em para que ela se torne .
Passo 3
Como representa uma sequência de operações elementares, essas operações podem ser desfeitas, isto é, tudo que a matriz fez em ela pode desfazer, e essa operação a gente conhece né!! É a função inversa, só que na ordem das matrizes a função inversa é a matriz inversa, isso quer dizer que é uma matriz invertível. Dessa forma, temos que
Logo, existe sim uma segunda sequência de operações que aplicadas a , produz , e essa sequência é representada pela matriz inversa da matriz que representava a primeira sequência.
Resposta
Demonstração