Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 37

A = [[[0,0,1],[1,1,0],[-,1,1,1]]]

Passo 1

Bom galerinha, ele quer a gente encontre a inversa de A , e pra isso ele deu a maravilinda sugestão de resolver o sistema A X = I , onde X = A^(- 1) igualando os termos, desse jeito

A X = I => [[[0,0,1],[1,1,0],[-,1,1,1]]] [[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]] = [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]

Onde

A^(- 1) = [[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]]

Como a voz do povo é a voz de Deus, e o povo clama por escutar a sugestão do Livro, vamos nessa!

Passo 2

Vamos abrir esse produto em sistema gigante de equações, assim ó:

[[[0,0,1],[1,1,0],[-,1,1,1]]] [[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]] = [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]] =>

=> {[[0,a,+,0,b,+,g,=,1],[a,+,d,+,0,g,=,0],[-,1,a,+,d,+,g,=,0]]) , {[[0,b,+,0,e,+,h,=,0],[b,+,e,+,0,h,=,1],[-,1,b,+,e,+,h,=,0]]) , {[[0,c,+,0,f,+,i,=,0],[c,+,f,+,0,i,=,0],[-,1,c,+,f,+,i,=,1]])

Passo 3

Agora que a gente montou esses sistemas que vem a parte legal, porque a agora podemos escrever esses sistemas na forma matricial

{[[0,a,+,0,b,+,g,=,1],[a,+,d,+,0,g,=,0],[-,1,a,+,d,+,g,=,0]]) = [[[0,0,1],[1,1,0],[-,1,1,1]]] [[[a],[d],[g]]] = [[[1],[0],[0]]]

{[[0,b,+,0,e,+,h,=,0],[b,+,e,+,0,h,=,1],[-,1,b,+,e,+,h,=,0]]) = [[[0,0,1],[1,1,0],[-,1,1,1]]] [[[b],[e],[h]]] = [[[0],[1],[0]]]

{[[0,c,+,0,f,+,i,=,0],[c,+,f,+,0,i,=,0],[-,1,c,+,f,+,i,=,1]]) = [[[0,0,1],[1,1,0],[-,1,1,1]]] [[[c],[f],[i]]] = [[[0],[0],[1]]]

Agora esses sistemas a gente consegue resolver pela Eliminação de Gauss-Jordan né, e se eles tiverem solução única, então nossa matriz é invertível.

Passo 4

Então bora resolver eles

[[[0,0,1],[1,1,0],[-,1,1,1]]] [[[a],[d],[g]]] = [[[1],[0],[0]]] => [[[0,0,1],[1,1,0],[-,1,1,1]]] = [[[1],[0],[0]]] => L_1 harr L_2 => [[[1,1,0],[0,0,1],[-,1,1,1]],[[0],[1],[0]]] =>

=> [[],[],[L_3,harr,L_2]] = [[[1,1,0],[-,1,1,1],[0,0,1]],[[0],[0],[1]]] => [[],[L_2,=,L_2,+,L_1],[]] = [[[1,1,0],[0,2,1],[0,0,1]],[[0],[0],[1]]] =>

=> [[],[L_2,=,L_2,-,L_3],[]] = [[[1,1,0],[0,2,0],[0,0,1]],[[0],[-,1],[1]]] => [[],[],[L_2,=,(L_2)/(2)]] = [[[1,1,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[0],[-,(1)/(2)],[1]]] =>

=> [[L_1,=,L_1,-,L_2],[],[]] => [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[(1)/(2)],[-,(1)/(2)],[1]]]

Logo a = (1)/(2) , d = - (1)/(2) e g = 1 .

[[[0,0,1],[1,1,0],[-,1,1,1]]] [[[b],[e],[h]]] = [[[0],[1],[0]]] => [[[0,0,1],[1,1,0],[-,1,1,1]]] = [[[0],[1],[0]]] => L_1 harr L_2 => [[[1,1,0],[0,0,1],[-,1,1,1]],[[1],[0],[0]]] =>

=> [[],[],[L_3,harr,L_2]] = [[[1,1,0],[-,1,1,1],[0,0,1]],[[1],[0],[0]]] => [[],[L_2,=,L_2,+,L_1],[]] = [[[1,1,0],[0,2,1],[0,0,1]],[[1],[1],[0]]] =>

=> [[],[L_2,=,L_2,-,L_3],[]] = [[[1,1,0],[0,2,0],[0,0,1]],[[1],[1],[0]]] => [[],[],[L_2,=,(L_2)/(2)]] = [[[1,1,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[1],[(1)/(2)],[0]]] =>

=> [[L_1,=,L_1,-,L_2],[],[]] => [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[(1)/(2)],[(1)/(2)],[0]]]

Logo b = (1)/(2) , e = (1)/(2) e h = 0 .

[[[0,0,1],[1,1,0],[-,1,1,1]]] [[[c],[f],[i]]] = [[[0],[0],[1]]] => [[[0,0,1],[1,1,0],[-,1,1,1]]] = [[[0],[0],[1]]] => L_1 harr L_2 => [[[1,1,0],[0,0,1],[-,1,1,1]],[[0],[0],[1]]] =>

=> [[],[],[L_3,harr,L_2]] = [[[1,1,0],[-,1,1,1],[0,0,1]],[[0],[1],[0]]] => [[],[L_2,=,L_2,+,L_1],[]] = [[[1,1,0],[0,2,1],[0,0,1]],[[0],[1],[0]]] =>

=> [[],[L_2,=,L_2,-,L_3],[]] = [[[1,1,0],[0,2,0],[0,0,1]],[[0],[1],[0]]] => [[],[],[L_2,=,(L_2)/(2)]] = [[[1,1,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[0],[(1)/(2)],[0]]] =>

=> [[L_1,=,L_1,-,L_2],[],[]] => [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],[[-,(1)/(2)],[(1)/(2)],[0]]]

Logo c = - (1)/(2) , f = (1)/(2) e i = 0 .

Passo 5

Agora ficou show de bola, encontramos todos os termo e é só jogar na forma de matriz

a = (1)/(2) , d = - (1)/(2) e g = 1 .

b = (1)/(2) , e = (1)/(2) e h = 0 .

c = - (1)/(2) , f = (1)/(2) e i = 0

A^(- 1) = [[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]] = [[[(1)/(2),(1)/(2),-,(1)/(2)],[-,(1)/(2),(1)/(2),(1)/(2)],[1,0,0]]]

Resposta

A^(- 1) = [[[(1)/(2),(1)/(2),(1)/(2)],[-,(1)/(2),-,(1)/(2),-,(1)/(2)],[(1)/(2),(1)/(2),(1)/(2)]]]

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exerciocios 13-17, determine, se houver, as condições que as constantes b deve satisfazer para garantir a consistência do sistema linear dado.13. x 1 + 3 x 2 = b 1 - 2 x 1 + x 2 = b 2
Seja A uma matriz diagonal, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero ( a i j = 0 , para i ≠ j ) , Se a i i ≠ 0 , para i = 1,..., n, mostre que A é invertível e a sua inversa é
Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que se A + B e A foram invertíveis, então ( A + B ) - 1 = A - 1 ( I n + B A - 1 ) - 1
Se possível, encontre a inversa da seguinte matriz 1 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0 0 1 0 0 2
Encontre todos os valores de λ para os quais a matriz A - λ I 4 tem inversa, em que ⎜2 0 0 0⎜⎜ ⎜ ⎜2 0 0 0⎜⎜ ⎜ ⎜1 2 1 0⎜⎜ ⎜ ⎜3 2- 12 ⎜⎜ ⎜