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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 44

Prove a parte (c) do Teorema 1.4.1.

Passo 1

Belezinha galera, o item (c) do Teorema 1.4.1 diz que A ( B C ) = (A B) C e para mostrar que isso é verdadeiro, devemos mostrar que A ( B C ) tem o mesmo tamanho de (A B) C e que as entradas correspondentes são iguais.

Passo 2

Para formar ( B C ) , o número de colunas B tem que ser igual ao número de linhas de C , digamos que B seja m xx n , logo C tem de ser n xx r e o produto (B C) é m xx r . Dessa forma para A (B C) estar definido, A precisa ser k xx m , e nosso produto A (B C) será k xx r . De maneira análoga a gente pode verificar que (A B) tem tamanho k xx n e o produto (A B) C vai ter tamanho k xx r , segue que A (B C) também é k xx r e consequentemente A (B C) e ( A B ) C tem o mesmo tamanho.

Passo 3

Suponha que A = [[[a_i j]]] , B = [ [[b_i j]] ] e C = [[[c_i j]]] . E a gente tá afim de mostrar que as entradas correspondentes de A (B C) e ( A B ) C são as mesmas, isto é, que

[[[A,(B C)]]]_i j = [[[(A B),C]]]_i j

Para todos os valores de i e j . Pela definição de produto matricial, temos que

[[[A,(B C)]]]_i j = underset(A)(underset(⏝)([[[a_i j]]])) underset(( B C ))(underset(⏝)((b_1 j c_1 j + b_2 j c_2 j + cdots + b_m j c_m j))) =>

=> [[[A,(B C)]]]_i j = ( a_1 j ( b_1 j c_1 j ) + a_2 j ( b_2 j c_2 j ) + cdots + a_m j ( b_m j c_m j ) ) =>

=> [[[A,(B C)]]]_i j = ( a_1 j b_1 j c_1 j + a_2 j b_2 j c_2 j + cdots + a_m j b_m j c_m j )

Agora parar [[[(A B),C]]]_i j

[[[(A B),C]]]_i j = underset((A B))(underset(⏝)((a_1 j b_1 j + a_2 j b_2 j + cdots + a_m j b_m j))) underset(C)(underset(⏝)([[[c_i j]]])) =>

=> [[[(A B),C]]]_i j = ( ( a_1 j b_1 j ) c_1 j + ( a_2 j b_2 j ) c_2 j + cdots + ( a_m j b_m j ) c_m j ) =>

=> [[[(A B),C]]]_i j = ( a_1 j b_1 j c_1 j + a_2 j b_2 j c_2 j + cdots + a_m j b_m j c_m j )

Logo

[[[(A B),C]]]_i j = ( a_1 j b_1 j c_1 j + a_2 j b_2 j c_2 j + cdots + a_m j b_m j c_m j ) = [[[A,(B C)]]]_i j

Resposta

[[[(A B),C]]]_i j = ( a_1 j b_1 j c_1 j + a_2 j b_2 j c_2 j + cdots + a_m j b_m j c_m j ) = [[[A,(B C)]]]_i j

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