Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 16
Mostre que as matrizes
São semelhantes, mas que:
Não são
Passo 1
A questão nos dá as matrizes
Dada uma matriz , duas matrizes semelhantes respeitam a relação:
E para que duas matrizes sejam similares elas devem ter o mesmo posto.
Passo 2
Primeiro vamos garantir que e tenham o mesmo posto:
Vamos escalonar as duas matrizes por eliminação gaussiana:
O posto é o número de linhas não nulas de uma matriz escalonada:
Passo 3
Agora vamos garantir que e respeitam a relação
Primeiro vamos calcular cada lado separadamente
E agora vamos igualar os dois lados:
Logo:
Fazendo as devidas simplificações e rearranjos, chegamos em:
Passo 4
Vamos colocar a expressão do passo anterior em forma matricial:
Perceba o seguinte, se resolvermos a expressão matricial acima estaremos descobrindo o vetor cuja a transformação linear resultada em zero. Ou seja, estaremos descobrindo o núcleo da transformação linear expressa acima.
Reduzindo o sistema por eliminação Gaussiana chegamos em
Logo:
Se chamarmos :
Se considerarmos chegamos em uma solução não trivial:
Isso mostra que a matriz é invertível, e que e são similares.
Passo 5
Agora vamos olhar para as matrizes e :
Vamos reduzir as duas utilizando eliminação gaussiana:
Perceba que as matrizes têm posto diferente:
Logo, elas não podem ser similares entre si.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)