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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.5 - Ex. 10

No Exercício 10, encontre uma decomposição em valores singulares de A.

A = - 2 - 1 2 2 1 - 2

Passo 1

O primeiro passo é encontrar os autovalores da matriz

A T A = - 2 2 - 1 1 2 - 2 - 2 - 1 2 2 1 - 2 = 8 4 - 8 4 2 - 4 - 8 - 4 8

O polinômio característico de A T A será,

- λ 3 + 18 λ 2 = 0

De modo que λ 1 = 0   M u l t i p l i c i d a d e   d e   2 e λ 2 = 18 , são aos seus autovalores

Passo 2

Devemos agora encontrar os valores singulares de A, que em ordem decrescente de tamanho são,

σ 1 = 18 = 3 2

σ 2 = 0 = 0

Passo 3

Próximo passo é encontrar os autovetores associados a cada um dos autovalores, utilizando as formas que já aprendemos anteriormente,

Autovetores associados a λ 1 = 0 :   - 1 4 1 ,   1 0 1 ;

Autovetores associados a λ 2 = 18 :   - 1 - 1 / 2 1 ;

Passo 4

Agora vamos normalizar os autovetores que encontramos,

Para - 1 - 1 / 2 1 , seu tamanho será igual a l = - 1 2 + - 1 2 2 + 1 2 = 1,5

Normalizando o vetor, teremos que v 1 = - 1 1,5 - 0,5 1,5 1 1,5 =   - 0,6667 - 0,3333 0,6667

Para 1 0 1 , seu tamanho será igual a l = 1 2 + 0 2 + 1 2 = 1,4142

Normalizando o vetor, teremos que v 2 = 1 1,4142 0 1,4142 1 1,4142 =   0,7071 0 0,7071

Para - 1 4 1 , seu tamanho será igual a l = - 1 2 + 4 2 + 1 2 = 4,2426

Normalizando o vetor, teremos que v 3 = - 1 4,2426 4 4,2426 1 4,2426 =   - 0,2357 - 0,9428 0,2357

Resposta

Agora, só nos resta escrever as matrizes da decomposição em valores singulares de A, ou seja,

A = U Σ V T

Sendo,

Σ = σ 1 0 0 0 σ 2 0 =   3 2 0 0 0 0 0

V = v 1 ,   v 2 , v 3 = - 0,6667 0,7071 - 0,2357 0,3333 0 - 0,9428 0,6667 0,7071 0,2357

U = 0,7071 0,7071 - 0,7071 0,7071

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