Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 10
(O Teorema da Alternativa de Fredholm) Seja um operador linear num espaço vetorial de dimensão . Prove que vale exatamente uma das duas afirmações seguintes.
- A equação tem alguma solução, qualquer que seja o vetor em
- A nulidade de é positiva:
Passo 1
A questão nos dá duas afirmações. Então vamos testar cada uma delas e veremos qual é verdadeira.
Vamos começar testando a afirmação “A equação tem alguma solução, qualquer que seja o vetor em ”
Imagine que a transformação linear seja um produto entre uma matriz e um vetor
Então a afirmação pode ser vista como uma afirmação de que: Sempre haverá uma solução não importa qual seja o valor de . Vamos expressar isso matematicamente abaixo:
Disso, podemos admitir que é inversível, e logo é não-singular.
Da mesma forma, a expressão só será possível para qualquer valor de , se todos os vetores que existem em forem imagens da transformação linear. Em termos matemáticos, a transformação linear têm que ser injetora!
Como é uma transformação linear injetora, então, pelo Teorema 8.2.1, o núcleo de é nulo:
Passo 2
Agora vamos pegar todas as informações do passo anterior, resumir e tirar uma conclusão:
Se a premissa for verdadeira, então é uma transformação injetora. O fato de ser injetora implica dizer que seu núcleo é igual a zero. E se o núcleo é igual a zero, então a premissa é falsa.
Já se a premissa for verdadeira, então a nulidade de é negativa. Isso implica dizer que o núcleo de será diferente de zero. E se o núcleo de for diferente de zero, a afirmação é falsa.
É com este raciocínio que provamos que somente uma das afirmações ou pode ser verdadeira.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)