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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.Exercícios Suplementares - Ex. 21c

Sejam x 1 < x 2 < x 3 números reais distintos tais que

x 1 < x 2 < x 3

E T : P 2 → R 3 a função definida pela fórmula

T p x = p x 1 p x 1 p x 3

  1. Mostre que T é uma transformação linear
  2. Mostre que T é injetora
  3. Mostre que se a 1 , a 2 , a 3 forem números reais quaisquer, então:

    4. T - 1 a 1 a 2 a 3   = a 1 P 1 x + a 2 P 2 x + a 3 P 3 x

    Sendo

    P 1 x = ( x - x 2 ) ( x - x 3 ) ( x 1 - x 2 ) ( x 1 - x 3 )

    P 2 x = ( x - x 1 ) ( x - x 3 ) ( x 2 - x 2 ) ( x 2 - x 3 )

    P 2 x = ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) ( x 3 - x 2 ) ( x 3 - x 3 )

  4. Qual é a relação entre o gráfico da função a 1 P 1 x + a 2 P 2 x + a 3 P 3 x e os pontos x 1 , a 1 , x 2 , a 2 , x 3 , a 3 ?

Passo 1

ATENÇÃO: EM ALGUMAS VERSÕES DO LIVRO HÁ UM ERRO DE DIGITAÇÃO. PARA TODOS OS EFEITOS A TRANSFORMÇÃO LINEAR É:

T p x = p x 1 p x 2 p x 3

Passo 2

Primeiro vamos aplicar os valores x 1 ,   x 2 ,   x 3 em P 1 ( x )

P 1 x 1 = ( x 1 - x 2 ) ( x 1 - x 3 ) ( x 1 - x 2 ) ( x 1 - x 3 ) = ( x 1 - x 2 ) ( x 1 - x 2 ) ⋅ ( x 1 - x 3 ) ( x 1 - x 3 ) = 1

P 1 x 2 = ( x 2 - x 2 ) ( x 2 - x 3 ) ( x 1 - x 2 ) ( x 1 - x 3 ) = 0 ⋅ ( x 2 - x 3 ) ( x 1 - x 2 ) ( x 1 - x 3 ) = 0

P 1 x 3 = ( x 3 - x 2 ) ( x 3 - x 3 ) ( x 1 - x 2 ) ( x 1 - x 3 ) = x 3 - x 2 ⋅ 0 ( x 1 - x 2 ) ( x 1 - x 3 ) = 0

Ou seja, P i x i = 1 e P i x j = 0

  P 1 x 1 = 1 P 1 x 2 = 0 P 1 x 3 = 0 P 2 x 1 = 0   P 2 x 2 = 1 P 2 x 3 = 0 P 3 x 1 = 0 P 3 x 1 = 0   P 3 x 3 = 1

Passo 3

Então vamos aplicar a transformação linear em a 1 P 1 x + a 2 P 2 x + a 3 P 3 x

T a 1 P 1 x + a 2 P 2 x + a 3 P 3 x = p x 1 p x 2 p x 3 T a 1 P 1 x + a 2 P 2 x + a 3 P 3 x = a 1 P 1 x 1 + a 2 P 2 x 1 + a 3 P 3 x 1 a 1 P 1 x 2 + a 2 P 2 x 2 + a 3 P 3 x 2 a 1 P 1 x 3 + a 2 P 2 x 3 + a 3 P 3 x 3 T a 1 P 1 x + a 2 P 2 x + a 3 P 3 x = a 1 + 0 + 0 0 + a 2 + 0 0 + 0 + a 3 T a 1 P 1 x + a 2 P 2 x + a 3 P 3 x = a 1 a 2 a 3

Passo 4

Agora vamos aplicar a transformada inversa de ambos os lados:

T - 1 T a 1 P 1 x + a 2 P 2 x + a 3 P 3 x = T - 1 a 1 a 2 a 3

a 1 P 1 x + a 2 P 2 x + a 3 P 3 x = T - 1 a 1 a 2 a 3

Reorganizando:

T - 1 a 1 a 2 a 3 = a 1 P 1 x + a 2 P 2 x + a 3 P 3 x

Como queremos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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