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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 24

Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que são equidistantes de π : x = 2 e P = - 2,0 , 0 , e identifique-o. Compare com a definição de parábola dada no Capítulo 22.

Passo 1

Então, temos um ponto X de coordenadas X = x , y , z pertencente a E 3 . Nosso trabalho é descobrir quem são esses pontos x que satisfazem:

d X , P = d X , π

Para isto, vamos precisar calcular a distância de ponto a ponto e ponto a plano. Portanto, vamos relembrar como fazemos isto.

Seja um ponto T = a , b , c , a sua distância até o ponto X será dado por:

d X , P = x - a 2 + y - b 2 + z - c 2

E, seja π : a x + b y + c z + d = 0 a sua distância até o ponto X será dado por:

d X , π = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c 2

Passo 2

Agora vamos ao cálculo das distâncias. Começando por d X , P , temos:

d X , P = x - a 2 + y - b 2 + z - c 2

d X , P = x + 2 2 + y 2 + z 2

Já para d X , π , temos:

d X , π = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c 2

d X , π = x - 2 1 2 + 0 2 + 0 2 = x - 2

Passo 3

Agora, só precisamos desenvolver a relação. Portanto,

x + 2 2 + y 2 + z 2 = x - 2

x + 2 2 + y 2 + z 2 = x - 2 2

x 2 + 4 x + 4 + y 2 + z 2 = x 2 - 4 x + 4

8 x = - y 2 - z 2

8 x = - y 2 - z 2

x = - y 2 - z 2 8

O que consiste em um paraboloide de revolução de vértice 0,0 , 0 e eixo de simetria O x . A obtenção deste paraboloide coincidiu com a definição utilizada para obtenção da cônica parábola: equidistância de um ponto e de uma reta.

Resposta

x = - y 2 - z 2 8

O que consiste em um paraboloide de revolução de vértice 0,0 , 0 e eixo de simetria O x . A obtenção deste paraboloide coincidiu com a definição utilizada para obtenção da cônica parábola: equidistância de um ponto e de uma reta.

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