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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Parábola - Ex. 24

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.

24) foco: F ( 3 ,   - 1 ) ; diretriz d : 2 x - 1 = 0

Passo 1

Neste problema, precisamos construir o gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola que respeite as condições dadas e para encerrar, vamos construir o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra. Notem que para o gráfico, precisamos conhecer o vértice, o foco e uma equação diretriz da parábola.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos saber se o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x ou y . Vamos fazer um resuminho.

Sabendo que V = ( h ,   k ) ≠ ( 0 ,   0 ) :

- Se for paralelo ao eixo dos y , a equação da parábola na forma padrão é x - h 2 = 2 p ( y - k ) , o foco é dado por F h , k + p 2 e a equação da diretriz é dada por y = k - p 2 .

- Se for paralelo ao eixo dos x , a equação da parábola na forma padrão é y - k 2 = 2 p ( x - h ) , o foco é dado por F h + p 2 ,   k e a equação da diretriz é dado por x = h - p 2 .

Notem, que quando for paralelo ao eixo dos y , os PRIMEIROS valores do vértice V e do foco F serão iguais, caso seja paralelo ao eixo dos x , os SEGUNDOS valores de V e F que serão iguais.

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos! O bizu é pegar as condições dadas no enunciado e comparar com o nosso resumo, assim matamos a questão rapidinho. Sabemos que F ( 3 ,   - 1 ) , e como a equação da diretriz é 2 x - 1 = 0 , pelo nosso resumo, o eixo da parábola é o eixo dos y , logo:

F h + p 2 , k = F 3 ,   - 1

h + p 2 = 3 k = - 1        

Sabendo que d : 2 x - 1 = 0 , temos:

x = h - p 2

2 x - 1 = 0 ⇒ x = - 1 2

Assim, igualando as equações, obtemos:

h - p 2 = - 1 2

Duas equações e duas incógnitas, montando um sisteminha, conseguimos achar os valores de p e h :

h + p 2 = 3       - 1 h - p 2 = - 1 2                         ⇒ - 2 p 2 = - 5 2 ⇒ p = 5 2

Substituindo p em uma das equações, temos:

h + 5 2 2 = 3 ⇒ h + 5 4 = 3 ⇒ h = 3 - 5 4 = 7 4

Portanto, o vértice V vai ser dado por:

V h ,   k = V 7 4 ,   - 1

Passo 4

Com o valor de p em mãos, fica fácil acharmos a equação da parábola.

A equação da parábola vai ser dada por:

y - k 2 = 2 p ( x - h )

y - ( - 1 ) 2 = 2 5 2 x - 7 4

y + 1 2 = 5 x - 7 4

Chegando até aqui, já está certo, mas podemos escrever mais bonitinho...

y 2 + 2 y + 1 = 5 x - 35 4

y 2 + 2 y + 39 4 = 5 x

Passo 5

Por fim, com o auxílio do Geogebra, nós construímos o nosso gráfico:

Resposta

y + 1 2 = 5 x - 7 4     o u     y 2 + 2 y + 39 4 = 5 x

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Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. y 2 = 6 x
Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. 3 x 2 + 4 y = 0
Ache a equação da parábola que tem vértice na origem, eixo no eixo x e passa pelo ponto ( 2 ,- 4 ) .
Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. 2 y 2 - 9 x = 0
Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. y 2 + 5 x = 0