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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 30

O produto vetorial é associativo? Justifique a sua resposta. (Sugestão: experimente com os vetores i → , j → , k → )

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bem?

Queremos saber se o produto vetorial é associativo, para isso vamos fazer uma associação de vetores:

A 1 = i →   x   i →   x   j →

A 2 = i →   x   ( i →   x   j → )

Passo 2

Resolvendo o produto vetorial de A 1 :

Sabemos que i →   x   i → = 0 . Logo:

0 →   x   j → = d e t 0 0 0 0 1 0 i → j → k → = 0 →

A 1 = ( 0,0 , 0 )

Passo 3

Resolvendo o produto vetorial de A 2 :

i →   x   j → = d e t 1 0 0 0 1 0 i → j → k → = k →

i →   x   i →   x   j → = i →   x   k → = d e t 1 0 0 0 0 1 i → j → k → = - j →

A 2 = ( 0 , - 1,0 )

Passo 4

Portanto, concluímos que:

A 1 ≠ A 2

Logo,

O   p r o d u t o   v e t o r i a l   n ã o   é   a s s o c i a t i v o .

Resposta

O   p r o d u t o   v e t o r i a l   n ã o   é   a s s o c i a t i v o   p o i s   i →   x   i →   x   j → ≠ i →   x   ( i →   x   j → )  

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