Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 11
Prove que se for uma matriz qualquer, então tem um conjunto ortonormal de autovetores.
Passo 1
E aí? Bora matar mais essa?
Vamos escrever uma matriz :
Como precisamos dos autovetores, e para isso a matriz precisa ser quadrada, então vamos multiplicar a matriz pela sua transposta:
Passo 2
Vamos calcular os autovalores e autovetores.
Passo 3
Primeiro vamos fazer o autovalor:
Passo 4
Retornando para:
Substituindo os valores:
Reescrevendo:
Então, temos:
Lembra quando o pessoal dizia que nunca mais iria usar Bhaskara?
Não podiam estar mais errados.
Onde:
Temos:
Passo 5
Agora é a vez dos autovetores:
Onde:
Logo:
Como já temos :
Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar . Molezinha, não!?
Passo 6
Determinando os autovetores:
Onde:
Logo:
Como já temos :
Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar .
Passo 7
Para :
Montando em forma de sistema, temos:
Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher a segunda:
O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o :
Temos:
Escrevendo:
Colocando em evidência, temos:
Temos que o valor de autovetor é:
Passo 8
Para :
Montando em forma de sistema, temos:
Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher a segunda:
O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o :
Temos:
Escrevendo:
Colocando em evidência, temos:
Temos que o valor de autovetor é:
Passo 9
Agora vamos normalizar os autovetores:
Podemos reescrever , como: .
Temos:
Reescrevendo:
Podemos reescrever , como: .
Temos:
Reescrevendo:
Passo 10
Agora vamos ver se os vetores são ortonomais, para isso o produto interno de um vetor com ele mesmo tem que ser igual a :
Bora lá fazer??
Para
Para
Resposta
Como o produto interno entre os próprios autovetores resultaram em , então tem um conjunto ortonormal de autovetores.