Enunciado

(a) Mostre que se v for uma matriz n × 1 qualquer e I for a matriz identidade n × n , então I - v v T é diagonalizável ortogonalmente.

(b) Encontre uma matriz P que diagonaliza I - v v T ortogonalmente, sendo

v = 1 0 1

Passo 1

E aí? Bora resolver mais essa?

(a) Primeiro vamos fazer:

v v T = 1 0 1 ∙ 1 0 1

v v T = 1 0 1 0 0 0 1 0 1

I - v v T = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 0 1 0 0 0 1 0 1

I - v v T = 0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0

Como I - v v T é símetrica, então pelo Teorema 7.2 . 1 , temos uma matriz diagonalizável ortogonalmente.

Passo 2

(b) Bom, precisamos encontrar a matriz P que diagonaliza I - v v T , mas o que é isso?

Então, P é uma matriz ortogonal formado pelos autovetores normalizados em coluna.

Relaxa que mais para frente eu conto como determinamos o autovetor normalizado, primeiro vamos ver a matriz P :

Foco no que eu disse ali em cima, sobre ser uma matriz ortogonal, então temos que:

P - 1 = P T

Passo 3

Precisamos dos os autovalores e autovetores:

A u t o v a l o r e s   ( λ ) :   A - λ I = 0

A u t o v e t o r e s   ( v ) :   A - λ I v = 0

Passo 4

A primeira coisa que vamos fazer é calcular o autovalor:

  A - λ I = 0

E vamos fazer parte, primeiro λ I :

λ I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Passo 5

Lembra da equação que escrevemos ali em cima?

λ I - A = 0

Agora vamos substituir os valores nela:

λ I - A = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - 0 0 - 1 0 1 0 - 1 0 0

Reescrevendo:

λ I - A = λ 0 1 0 λ - 1 0 1 0 λ + 1

Então:

λ 0 1 0 λ - 1 0 1 0 λ + 1 = 0

Passo 6

Bora fazer o determinante da nossa matriz?

λ 0 1 0 λ - 1 0 1 0 λ + 1 λ 0 0 λ - 1 1 0

λ ∙ λ - 1 ∙ λ + 1 + 0 + 0 - λ - 1 - 0 - 0 = 0

λ ∙ λ 2 - 1 - λ + 1 = 0

λ 3 - λ - λ + 1 = 0

λ 3 - 2 λ + 1 = 0

Podemos reescrever como:

λ - 1 ∙ λ - 1 ∙ λ + 1 = 0

Temos que:

λ 1 = λ 2 = 1

λ 3 = - 1

Passo 7

Agora é a vez dos autovetores:

A - λ I v = 0

Onde:

v = x y z

Logo:

A - λ I ∙ x y z = 0

Como já temos A - λ I :

λ 0 1 0 λ - 1 0 1 0 λ + 1 ∙ x y z = 0

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar v . Molezinha, não!?

Passo 8

Para λ 1 = λ 2 = 1 :

1 0 1 0 1 - 1 0 1 0 1 + 1 ∙ x y z = 0

1 0 1 0 0 0 1 0 2 ∙ x y z = 0

Montando em forma de sistema, temos:

x + z = 0 x + 2 z = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher a primeira:

x + z = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o x :

x = - z

Temos que:

y = 0

Escrevendo:

v = x y z

v 1 = x 0 - x

Colocando x em evidência, temos:

v 1 = x ∙ 1 0 - 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 1 = 1 0 - 1

Como λ 1 = λ 2 = 0 , podemos descobrir v 2 , temos que:

v = v 1 + v 2

Onde:

v = s t - s = s 1 0 - 1 + t 0 1 0

Então:

v 2 = 0 1 0

Passo 9

Para λ 3 = - 1

- 1 0 1 0 - 1 - 1 0 1 0 - 1 + 1 ∙ x y z = 0

- 1 0 1 0 - 2 0 1 0 0 ∙ x y z = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- x + z = 0 - 2 y = 0 z = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher a primeira:

- x + z = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o x :

- x = - z

x = z

Temos que:

y = 0

Escrevendo:

v = x y z

v 3 = x 0 x

Colocando x em evidência, temos:

v 3 = x ∙ 1 0 1

Temos que o valor de autovetor é:

v 3 = 1 0 1

Passo 10

Estamos mandando bem!!! Bora determinar normalizar os autovetores:

u 1 = v 1 v 1

u 1 = 1 1 2 + 0 2 + - 1 2 ∙ 1 0 - 1

u 1 = 1 2 ∙ 1 0 - 1

u 1 = 1 2 0 - 1 2

u 2 = v 2 v 2

u 2 = 1 0 2 + 1 2 + 0 2 ∙ 0 1 0

u 2 = 1 1 ∙ 0 1 0

u 2 = 1 ∙ 0 1 0

u 2 = 0 0 1

u 3 = v 3 v 3

u 3 = 1 1 2 + 0 2 + 1 2 ∙ 1 0 1

u 3 = 1 2 ∙ 1 0 1

u 3 = 1 2 0 1 2

Passo 11

Chegamos na tão esperada matriz P !!!

Para escrever P , lembra o que eu disse lá no Passo 1? Que colocamos os autovetores normalizados que diagonaliza A ortogonalmente em colunas, então:

P = 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 1 2

Resposta

  1. I - v v T é símetrica
  2. P = 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 1 2
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