(a) Mostre que se for uma matriz qualquer e for a matriz identidade , então é diagonalizável ortogonalmente.

(b) Encontre uma matriz que diagonaliza ortogonalmente, sendo

(b) Bom, precisamos encontrar a matriz que diagonaliza , mas o que é isso?

Então, é uma matriz ortogonal formado pelos autovetores normalizados em coluna.

Relaxa que mais para frente eu conto como determinamos o autovetor normalizado, primeiro vamos ver a matriz :

Foco no que eu disse ali em cima, sobre ser uma matriz ortogonal, então temos que:

Precisamos dos os autovalores e autovetores:

A primeira coisa que vamos fazer é calcular o autovalor:

E vamos fazer parte, primeiro :

Lembra da equação que escrevemos ali em cima?

Agora vamos substituir os valores nela:

Reescrevendo:

Então:

Bora fazer o determinante da nossa matriz?

Podemos reescrever como:

Temos que:

Agora é a vez dos autovetores:

Onde:

Logo:

Como já temos :

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar . Molezinha, não!?

Para :

Montando em forma de sistema, temos:

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher a primeira:

O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o :

Temos que:

Escrevendo:

Colocando em evidência, temos:

Temos que o valor de autovetor é:

Como , podemos descobrir , temos que:

Onde:

Então:

Para

Montando em forma de sistema, temos:

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher a primeira:

O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o :

Temos que:

Escrevendo:

Colocando em evidência, temos:

Temos que o valor de autovetor é:

Estamos mandando bem!!! Bora determinar normalizar os autovetores:

Chegamos na tão esperada matriz !!!

Para escrever , lembra o que eu disse lá no Passo 1? Que colocamos os autovetores normalizados que diagonaliza ortogonalmente em colunas, então: