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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 38

Prove o Teorema 1.4.2

Passo 1

Bom galerinha bonita, nosso Teorema 1.4.2 é esse aqui:

“Se c for um escalar e se os tamanhos das matrizes forem tais que as operações possam ser efetuadas, então.

  1. A + 0 = 0 + A = A
  2. A - 0 = A
  3. A - A = A + (- A) = 0
  4. 0 A = 0
  5. Se c A = 0 , então c = 0 ou A = 0 .”

Show de bolinha então, bora chamar A de

A = [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]]

E provar cada item separadamente

Passo 2

Nosso item (a) é, A + 0 = 0 + A = A , o elemento 0 na nossa soma vai ser uma matriz de mesma ordem que A , ou seja, se A é m xx n , 0 será uma matriz m xx n só com elementos nulos.

A + 0 = [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]] + [[[0,0,cdots,0],[0,0,cdots,0],[vdots,vdots,ddots,vdots],[0,0,cdots,0]]] = [[[a_11,+,0,a_12,+,0,cdots,a_1 j,+,0],[a_21,+,0,a_22,+,0,cdots,a_2 j,+,0],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,+,0,a_i 2,+,0,cdots,a_i j,+,0]]]

0 + A = [[[0,0,cdots,0],[0,0,cdots,0],[vdots,vdots,ddots,vdots],[0,0,cdots,0]]] + [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]] = [[[0 + a_11,0,+,a_12,cdots,0,+,a_1 j],[0 + a_21,0 + a_22,cdots,0,+,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[0,+,a_i 1,0 + a_i 2,cdots,0,+,a_i j]]]

Como a soma de matrizes é feita elemento a elemento, isto é, o termo a_i j será somado com o elemento 0_i j , a matriz 0 será o elemento nulo da soma. Portanto

A + 0 = 0 + A = [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]]

Passo 3

O item (b) diz que A - 0 = A , o raciocínio vai ser parecido com o item (a)

A - 0 = [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]] - [[[0,0,cdots,0],[0,0,cdots,0],[vdots,vdots,ddots,vdots],[0,0,cdots,0]]] = [[[a_11,-,0,a_12,-,0,cdots,a_1 j,-,0],[a_21,-,0,a_22,-,0,cdots,a_2 j,-,0],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,-,0,a_i 2,-,0,cdots,a_i j,-,0]]] = A

Como no item anterior a gente viu que a matriz 0 era o elemento nulo da soma, o pensamento é o mesmo pra subtração.

A - 0 = [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]]

Passo 4

O item (c) diz que A - A = A + ( - A ) , vamos encontrar os dois lados da equação e comparar

A = [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]] => A - A = [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]] - [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]] =>

=> A - A = [[[a_11,-,a_11,a_12,-,a_12,cdots,a_1 j,-,a_1 j],[a_21,-,a_21,a_22,-,a_22,cdots,a_2 j,-,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,-,a_21,a_i 2,-,a_i 2,cdots,a_i j,-,a_i j]]] = [[[0,0,cdots,0],[0,0,cdots,0],[vdots,vdots,ddots,vdots],[0,0,cdots,0]]]

Agora o outro lado

- A = [[[-,a_11,-,a_12,cdots,-,a_1 j],[-,a_21,-,a_22,cdots,- a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[- a_i 1,-,a_i 2,cdots,-,a_i j]]] =>

=> A + (- A) = [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]] + [[[-,a_11,-,a_12,cdots,-,a_1 j],[-,a_21,-,a_22,cdots,- a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[- a_i 1,-,a_i 2,cdots,-,a_i j]]] =>

=> A + (- A) = [[[a_11,+,(,-,a_11,),a_12,+,(,-,a_12,),cdots,a_1 j,+,(,-,a_1 j,)],[a_21,+,(,-,a_21,),a_22,+,(,-,a_22,),cdots,a_2 j,+,(,-,a_2 j,)],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,+,(,-,a_21,),a_i 2,+,(,-,a_i 2,),cdots,a_i j,+,(,-,a_i j,)]]] = [[[0,0,cdots,0],[0,0,cdots,0],[vdots,vdots,ddots,vdots],[0,0,cdots,0]]]

Passo 5

Já nosso item (d) diz que 0 A = 0 , ou seja, temos a matriz 0 que multiplica uma matriz A e o resultado é uma matriz 0 novamente de tamanho correspondente a definição do produto entre matrizes, isto é, se 0 for m xx n e A for n xx r , a matriz resultante vai ser m xx r . Belezinha, suponha que A = [[[a_i j]]] e 0 = [ [[0_i j]] ] , pela definição de produto vamos ter que

[[[0,A]]]_i j = 0_i 1 a_1 j + 0_i 2 a_2 j + cdots + 0_i n a_n j = [[[0]]]_i j

Passo 6

Finalmente nosso item (e) diz que se c A = 0 , então c = 0 o u A = 0 . Ou seja, no nosso produto c A , temos um escalar “ c ” que multiplica uma matriz A e o resultado desse produto é 0 , e queremos saber se esse resultado implica diretamente que c = 0 o u A = 0 . Vamos abrir nosso produto então.

c A = c [[[a_11,a_12,cdots,a_1 j],[a_21,a_22,cdots,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[a_i 1,a_i 2,cdots,a_i j]]] = [[[c a_11,c,a_12,cdots,c,a_1 j],[c a_21,c a_22,cdots,c,a_2 j],[vdots,vdots,ddots,,vdots],[c,a_i 1,c,a_i 2,cdots,c a_i j]]] = [[[0,0,cdots,0],[0,0,cdots,0],[vdots,vdots,ddots,vdots],[0,0,cdots,0]]]

Logo para qualquer valor de i e j temos que os termos de c A são

[[[c,A]]]_i j = c a_i j = 0

Isto é, se c = 0 , o produto c a_i j também vai ser 0 . MAAASS, se c != 0 , nosso produto c a_i j = 0 , faz com que obrigatoriamente a_i j seja igual 0 , o que implica que A = 0 . Logo se c A = 0 , então c = 0 o u A = 0 .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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