Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 9
Se A é uma matriz n x n e , para um k inteiro positivo, mostre que
Passo 1
Oi, oi galerinha!
Vamos começar lembrando de alguns conceitos importantes
1-A potência de matrizes é dada por:
Ou seja, vamos multiplicar a matriz por ela mesma a quantidade de vezes que indicar o índice. Cuidado, para não aplicar essa potência nos termos da matriz.
2-A distributividade em matriz é aplicada da seguinte forma:
Perceba que a ordem é importante, visto que a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Passo 2
Agora, partiu fazer a questão!
Lembrando que toda matriz inversa segue a regra:
Assim, a sentença abaixo precisa ser verdadeira.
Vamos desenvolver o lado esquerdo da equação até que ele chegue à matriz identidade .
Para facilitar o entendimento do próximo passo, vamos chamar de E a matriz à direita.
Portanto, nossa sentença inicial fica assim:
Como visto no início, podemos aplicar a distributividade. Dessa forma:
Tirando o E, substituindo-o de volta, temos:
Blz, até agora tudo certo?
Igualar a soma daquelas matrizes a uma letra, torna visualmente mais fácil a aplicação da propriedade. Mas você pode aplicar a propriedade direto, sem precisar igualar ao E.
Voltando para a questão.....
Novamente, vamos aplicar a distributividade.
Lembrando que o produto de uma matriz por uma identidade é ela mesma, e quando temos potências de mesma base somamos os expoentes (essa regra se aplica para matrizes), temos:
É possível perceber que existem termos simétricos, ao cortá-los sobram:
Sabendo que (dado pela questão), nosso resultado é a matriz identidade. Portanto, concluímos a questão.
Resposta
Resposta nos passos