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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 36

A = [[[1,1,1],[1,0,0],[0,1,1]]]

Passo 1

Bom galerinha, ele quer a gente encontre a inversa de A , e pra isso ele deu a maravilinda sugestão de resolver o sistema A X = I , onde X = A^(- 1) igualando os termos, desse jeito

A X = I => [[[1,1,1],[1,0,0],[0,1,1]]] [[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]] = [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]

Onde

A^(- 1) = [[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]]

Como a voz do povo é a voz de Deus, e o povo clama por escutar a sugestão do Livro, vamos nessa!

Passo 2

Vamos abrir esse produto em sistema gigante de equações, assim ó:

[[[1,1,1],[1,0,0],[0,1,1]]] [[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]] = [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]] =>

=> {[[a,+,d,+,g,=,1],[a,+,0,d,+,0,g,=,0],[0,a,+,d,+,g,=,0]]) , {[[b,+,e,+,h,=,0],[b,+,0,e,+,0,h,=,1],[0,b,+,e,+,h,=,0]]) , {[[c,+,f,+,i,=,0],[c,+,0,f,+,0,i,=,0],[0,c,+,f,+,i,=,1]])

Passo 3

Agora que a gente montou esses sistemas que vem a parte legal, porque a agora podemos escrever esses sistemas na forma matricial

{[[a,+,d,+,g,=,1],[a,+,0,d,+,0,g,=,0],[0,a,+,d,+,g,=,0]]) = [[[1,1,1],[1,0,0],[0,1,1]]] [[[a],[d],[g]]] = [[[1],[0],[0]]]

{[[b,+,e,+,h,=,0],[b,+,0,e,+,0,h,=,1],[0,b,+,e,+,h,=,0]]) = [[[1,1,1],[1,0,0],[0,1,1]]] [[[b],[e],[h]]] = [[[0],[1],[0]]]

{[[c,+,f,+,i,=,0],[c,+,0,f,+,0,i,=,0],[0,c,+,f,+,i,=,1]]) = [[[1,1,1],[1,0,0],[0,1,1]]] [[[c],[f],[i]]] = [[[0],[0],[1]]]

Agora esses sistemas a gente consegue resolver pela Eliminação de Gauss-Jordan né, e se eles tiverem solução única, então nossa matriz é invertível.

Passo 4

Então bora resolver eles

[[[1,1,1],[1,0,0],[0,1,1]]] [[[a],[d],[g]]] = [[[1],[0],[0]]] => [[[1,1,1],[1,0,0],[0,1,1]]] = [[[1],[0],[0]]] => L_2 = L_2 - L_1 => [[[1,1,0],[0,-,1,-,1],[0,1,1]],- [[1],[1],[0]]] =>

=> [[],[],[L_3,=,L_3,+,L_2]] = [[[1,1,0],[0,-,1,-,1],[0,0,0]],[[1],[-,1],[1]]]

Opa, pera lá, olha nossa terceira linha ali, L_3 = 0 a + 0 b + 0 c = 1 , ela tá me falando que 0 + 0 + 0 = 1 . E isso tá completamente errado! Logo nossa matriz NÃO É INVERTÍVEL!

Resposta

Matriz NÃO É INVERTÍVEL!

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Mostre que se B é uma matriz invertível, então A B - 1 = B - 1 A se, e somente se, A B = B A . (Sugestão: multiplique a equação A B = B A por B - 1 ).
Sejam A uma matriz mxn e B uma matriz nxm , com n A B não é invertível. (Sugestão: Mostre que o sistema A B X = 0 tem solução não trivial.)
Sejam A e B matrizes nxn . Mostre que se B não é invertível, então A B também não o é.
Seja J n a matriz nxn , cujas entradas são iguais a 1. Mostre que se n1 , então I n - J n - 1 = I n - 1 n - 1 J n
Sejam U 1 , U 2eU 3 três vetores unitários mutuamente ortogonais. Se A = [ U 1 , U 2 , U 3 ] é uma matriz 3 x 3 cujas colunas são os vetores U 1 , U 2eU 3 , então A é invertível e A - 1 = A t .